不变量法化简二次曲面

徐晓利

摘 要：二次曲面的化简是一项复杂又高难度的工作.本文主要总结了计算简便易掌握的不变量法，即运用变量和不变量化简二次曲面的方法，并举例讲解方法.

关键词：二次曲面；化简；不变量

二次曲面是解析几何的重点内容，也是高等代数这一模块中重要的二次型理论的经典应用.我们往往通过化简其方程，判别二次曲面的类型，并确定其几何形状.化简二次曲面，是二次曲面一般理论中最重要的内容，也是难点所在.坐标变换法（正交变换）是化简二次曲面方程普遍常用的方法，但是由于相关高等代数理论抽象难懂，计算过程复杂，课堂教学显得很是困难.在欧式坐标系中，二次曲面存在着许多不变量，总结归纳不变量关系与二次曲面标准方程之间联系，由此来进行化简.

1二次曲面

定义1 在三维空间中，用三元二次方程来表示的曲面称为二次曲面.

设二次曲面的一般方程为：

（1.1）.

二次曲面方程中的常用记号：

将的二次项部分记为，

将的系数排成矩阵 ，叫做二次曲面的矩阵.

.

2不变量法化简二次曲面

定义2 二次曲面的标准方程：无法再使用平移、旋转变换进行化简的方程.即满足以下三者的方程：

1）方程中不包含交叉项xy，xz，yz；

2）若方程中存在某一坐标的二次项，就不存在这一坐标的一次项；

3）若方程中只存在某一坐标的一次项，且此时其中不存在.

在高等代数课程中，有一个重要理论，称为二次型理论.二次型理论告诉我们，通过求解矩阵的特征方程，求相应特征根，最后得到唯一的标准形.这也就是我们常常所说的正交变换.二次曲面方程中也有相应的二次型矩阵，从而二次曲面便能用此变换化简，在这里不加以展开.

在变换中我们发现，二次曲面方程在直角坐标变换后，方程虽然发生了一定变化，但是决定二次曲面的几何特征的性质却没有任何变化，那些不变的性质我们可以采用不变量来刻画.这种不变量可以用二次曲面方程的系数来表达.我们称，不因直角坐标变化而发生改变的量为正交不变量.正交不变量在解析几何研究中十分重要的一项，为二次曲面和二次曲线的化简有着尤为重要的作用，下面我将证明二次曲面中的不变量.

引理1.是二次曲面的不变量.

即是正交不变量.

推论1.二次曲面的特征方程和特征根在任意直角坐标变换下都不变.

引理2.和在转轴变换下不变，称为半不变量.

引理3.给定二次曲面方程

（1）当时，是不变量；

（2）当时，是不变量.

任意一个二次曲面方程在选取适当的直角坐标变化后可以被分为5大类别，表示为化简的五个方程之一，下面我们利用二次曲面在转轴变化下的不变量与半不变量对二次曲面进行化简.

定理1.不变量得简化方程：

（1）当时，简化方程为；

（2）当时，简化方程为；

（3）当时，简化方程为；

（4）当时，简化方程为

；

（5）当时，简化方程为.

其中表示非零特征根.

证明：从略.

例1：化簡下面二次曲面方程，并判断出它为何种二次曲面.

解：二次曲面的矩阵 ，

分别计算不变量，得 ，，，

.

特征方程为，

特征根为：，，.又由，

所以二次曲面的简化方程为：，该曲面为椭圆柱面.

例2：化简二次曲面方程.

解：二次曲面的矩阵 ，

分别计算不变量，得 ，，，

由故二次曲面为中心二次曲面，

特征方程为，特征根为：，，又

所以二次曲面的简化方程为：，这是一个旋转双叶双曲面.

不变量法化简二次曲面方程与二次曲线方程的化简非常相似，其实本质也就是将二维空间的一般讨论推广到三维空间.利用不变量，我们可以简捷地判别所给二次曲面方程属于何种类型，写出其简化方程，并判别它的形状，计算简便，易于掌握.

参考文献

[1]李养成.空间解析几何（新版）.北京：科学出版社，2007.

[2]吕子根，许子道.解析几何（第四版）.北京：高等教育出版社，2006.

（作者单位：武警警官学院）