初中数学中绝对值性质的应用

钟秋红

绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将其转化为不含绝对值的问题.确定绝对值符号内部分的正负，借此去掉绝对值符号的方法大致有以下几种.

一、含有一个绝对值符号的化简题

（一）已知未知数的取值或取值范围进行化简

如，当x>3时，化简|2x-3|+2x（根据绝对值的意义直接化简）.

解原式=2x-3+2x=4x-3.

（二）没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简

如，化简|x-3|+2x（必须进行讨论）.

我们把使绝对值符号内的代数式为0的未知数的值叫作界值，显然绝对值符号内代数式是x-3，使x-3=0的未知数的值是3，所以我们把3叫作此题的界值，确定了界值后，我们就把它分成三种情况进行讨论.

（1）当x>3时，则x-3>0是一个正数，则它的绝对值应是它本身，∴原式=x-3+2x=3x-3.

（2）当x=3时，则x-3=0，而0的绝对值为0，∴原式=0+2x=2x或|x-3|+2x=0+2×3=6.

（3）当x<3时，则x-3<0，是一个负数，而负数的绝对值应是它的相反数，∴原式=-（x-3）+2x=-x+3+2x=x+3.

二、含有两个绝对值符号的化简题

1.已知未知数的取值或取值范围，进行化简也应根据绝对值的意义直接化简.

如，当x<-5时，化简|2x-7|+|5x|.

解原式=-（2x-7）+（-5x）=-2x+7-5x=-7x+7.

2.没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简也必须进行讨论

如，化简|x+2|+|3x-1|.

|x+2|的界值为-2，|3x-1|的界值为13.

所以对此类化简题，我们仍从三个方面进行讨论.

解（1）当x>13时（界值-2，13中13为较大界值，讨论的第（1）种情况为大于大的界值）.

原式=（x+2）+（3x-1）=x+2+3x-1=4x+1.

（2）当x<-2时，（第（2）种情况为小于小的界值）

原式=-（x+2）+[-（3x-1）]=-x-2-3x+1=-4x-1.

（3）当-2<x<13时（第（3）种情况为大于小的界值小于大的界值）

原式=x+2+[-（3x-1）]=x+2-3x+1=-2x+3.

三、数形结合绝对值化简题

如，有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简：|2a-b|+|b-c|-|c-3a|.

解由a，b，c在数轴上的位置可知a<0，b>0，c<0且c<a，c>3a，2a<b.

∴原式=-（2a-b）+（b-c）-（c-3a）=-2a+b+b-c-c+3a=a+2b-2c.

综上所述，含有绝对值符号的化简题，如已确定某些未知数的取值，就按这个未知数的取值根据绝对值的意义去掉绝对值符号，进而化简.如没有告诉某些未知数的取值或取值范围，那么就找出这个绝对值（或两个绝对值）符号内的界值，然后分三种情况进行讨论.

四、绝对值性质化简问题

若abc≠0，则a|a|+b|b|+c|c|的所有可能值是什么？

解∵abc≠0，∴a≠0，b≠0，c≠0.

（1）当a，b，c均大于0时，原式=3.

（2）当a，b，c均小于0时，原式=-3.

（3）当a，b，c中有两个大于0，一个小于0时，原式=1.

（4）当a，b，c中有两个小于0，一个大于0时，原式=-1.

∴a|a|+b|b|+c|c|所有可能的值为±3，±1.

本题的解法是采用把a，b，c中大于0与小于0的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用.

例已知|a-1|+|ab-2|=0，求1ab+1（a+1）（b+1）+1（a+2）（b+2）+…+12017×2018.

解∵|a-1|+|ab-2|=0，∴|a-1|=0，|ab-2|=0，即a=1，b=2.

∴原式=11×2+12×3+13×4+…+12017×2018=1-12+12-13+13-14+…+12017-12018=1-12018=20172018.

互为相反数的绝对值相等，任何一个数的绝对值都是非负数.运用这些性质可以去掉绝对值符号.

五、关于绝对值的最值问题

已知y=|2x+6|+|x-1|-4|x+1|，求y的最大值.

分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者.

解有三个分界点：-3，1，-1.

（1）当x≤-3时，y=-（2x+6）-（x-1）+4（x+1）=x-1，

∵x≤-3，∴y=x-1≤-4，y的最大值是-4.

（2）当-3≤x≤-1时，y=（2x+6）-（x-1）+4（x+1）=5x+11，

∵-3≤x≤-1，∴-4≤5x+11≤6，y的最大值是6.

（3）当-1≤x≤1时，y=（2x+6）-（x-1）-4（x+1）=-3x+3，

∵-1≤x≤1，∴0≤-3x+3≤6，y的最大值是6.

（4）当x≥1时，y=（2x+6）+（x-1）-4（x+1）=-x+1，

∵x≥1，∴1-x≤0，y的最大值是0.

综上可知，当x=-1时，y取得最大值，为6.

小结：绝对值是中學数学中一个非常重要的概念，不仅是有理数运算的基础，还可以深化认识有理数.它具有非负性，在数学中有广泛应用.因而，学好绝对值性质的应用显得尤为重要.