数学语言与物理语言的异同辨析

龙海垚

[摘 要] 数学语言是数学知识和数学问题之间的桥梁，物理语言是物理知识与物理问题之间的桥梁，分析探讨两种语言共性和特性，发现两种语言均由文字语言、符号语言，图表语言、形体语言、组合语言五种语言组成，均具有抽象性、精确性、简约性、符号化四种特性，物理语言尚有实体化、模型化的特性，对其语言和特性进行分析，有利于掌握数学语言和物理语言，解决数学问题和物理问题.

[关键词] 数学语言；物理语言；文字语言；符号语言；图表语言；形体语言

前言

数学、物理是高中理科结合紧密、十分重要的两门课程，均因具有“三多三性”（概念多、公式多、符号多；抽象性、严密性、精确性）而难学难用.要学好这两门课程，做到“听懂课、读懂题、会做题、做对题”，其前提就是要掌握数学语言和物理语言（为方便叙述，后面同时用到数学语言和物理语言时用数理语言合称）.

语言是思维的工具，各种语言都是为着各种特定的思维服务的， 数学语言是为数学思维服务的，是进行数学思维、数学表达和交流的工具；物理语言是为物理思维服务的，是进行物理思维、物理表达和交流的工具.

我们都知道，数学知识和物理知识都是来源于生活又应用于生活.作为一门学科，数学是研究物理的工具和手段，物理学的发展依赖于数学同时也促进了数学的发展，二者的关系按照杨振宁先生的“二叶理论”：物理学和数学可表示为两片在茎处重叠的叶片，重叠的地方同时是二者之根，二者之源■. 数学语言和物理语言亦是如此，有着共同的起源，前者还是后者的基础，两种语言有一定的共性，大部分居于“二叶理论”的叶茎处，研究二者的共性，有利于掌握数理语言.

数学语言与物理语言的共性

1. 起源方面

语言是人类交流思想、沟通意识和传递信息的工具. 人类所使用的语言，可以概括分为两大类：自然语言（natural language）和人工语言（constructed language，简称conlange）. 自然语言通常是指一种自然地随文化演化的语言，是为了方便人与人交流的语言，他是“自然发生的”，日常交流用语就属于自然语言；人工语言是人们为了特定目的“人为设计的”语言，是特定人群交流、沟通、传递信息的工具. 数理语言均属于人工语言，是数学家在研究现实世界中数量关系和空间形式过程中和物理学家在研究物质运动最一般规律和物质基本结构过程中，为了交流方便，表达准确、简洁、科学、严谨，在自然语言的基础上，引入特定概念、符号、公式、图形和一些特定文字形成的人工语言，是人类思维长期发展的成果.它牺牲了自然语言的广泛性和生动性，取代以更严密的逻辑性和精确性.

数学语言是在自然语言的土壤中产生的. 后者为前者的产生提供了外部条件，但同时自然语言也限制了数学思维的发展，自然语言的缺陷表现在：（1）缺乏单义性和精确性，不能用来表达准确、严密的数学；（2）缺乏高度的抽象性和形式性，数学是形式化科学，表达数学需要形式化语言；（3）缺乏简单性和可操作性，数学思维要求对数学对象在可见的形式下进行严格的操作或运演，自然语言不能担当此任. 于是，从三个方向对自然语言进行改进形成数学语言：（1）按简化自然语言的方向；（2）按克服自然语言中含糊不清的毛病的方向；（3）按扩大表达范围的方向.

物理语言词汇的产生和完善离不开大量的客观事实和自然语言，基于上述自然语言的缺陷，物理语言词汇的产生主要来自于以下几个途径：（1）自然语言的重定义，如质量、力、时间、空间、运动，物理学对它们在物理中的含义做了严格的界定；（2）创造新的词汇以描述原有生活经验中没有的体验，如质点、能量、动量；（3）数学符号，创造新的符号如微分，矢量、张量、算符；（4）表現物理量关系的物理图像.

可见，数学语言、物理语言的起源均为自然语言，是对自然语言进行“简化、修正、扩容、创造”而逐渐形成的学科语言. 数学是物理学的语言和工具，它概括物理现象、形成物理概念、整理实验数据、进行逻辑分析、建立物理定律、利用数学图像展示物理规律，物理学的研究和学习过程都离不开数学，所以物理语言是以数学语言为基础，增加物理学中特定语言成分后形成的学科语言.

2. 内容方面

数学语言、物理语言是伴随着数学、物理自身的发生和发展而逐渐成长起来的，是储存、传承和加工数学、物理思想信息、简洁和准确地表现物理现象、过程和规律的工具，是一种高度抽象的专业语言. 无论是数学语言还是物理语言，在内容方面均包括符号语言、图表语言、文字语言、形体语言和组合语言五大类，下面分别讨论.

（1）文字语言，数学中的文字语言是数学化后的自然语言，物理中文字语言是科学化后的自然语言，她们均摈弃了自然语言中的模糊性，代之以数学语言的严谨性、物理语言的科学性，是通过对自然语言的加工、改造、限定和精确化、科学化后形成的特殊的文字语言，其常常以术语、定义、定则、定律、定理、公理等，其每一个字、词都是经过严格推敲得来的，不能随意替代、增减字句，如数学中的“除和除以”、“增加n倍和增到n倍”，物理学中的“能量守恒定律中的“转化与转移“为止不能互换，“重量和重力”，数学中定理、公理比较多、物理学中定律比较多.

（2）符号语言是数学、物理中通用的、特有的简练语言，分为象形符号、缩写符号、约定符号三类. 象形符号是对对象的空间位置结构或数量关系经抽象概括得到的各种数学、物理图形或图式， 再经缩小或改造而形成的一类数学符号，如几何中的一般三角形（△）、直角三角形符号（Δ）、角符号（∠）、垂直符号（⊥）、平行符号∥、箭头符号（→）；电磁学用圆点（·）表示纸面向外（看见箭头）、叉（×）表示纸面向里（看见箭尾）；缩写符号是由数学概念的西文词汇缩写或加以改造而成的符号， 比如函数f（function），极限lim（limit），正弦sin（sine），余弦cos（cosine），正切tan（tangent），最大max（maximal），最小min （minimal），存在（Exist），任意？坌（Arbitrary中第一字母倒过来），相似符号∽是把Similar（相似）一字的词头S横过来写，电流单位安培A（Ampere，来自（Andr M Marie，1775-1836，法国物理学家）），电压单位V（Voltage），磁场南极用S（South）、北极用N（North）表示；约定符号是共同约定的， 具有思维合理性、流畅性的符号，如数学语言中的运算符号+、×、∩、≌、<、>等均属此；物理语言中的“A”、“V”分别表示电流表和电压表，有圈的叉×、点（·）表示进、出电流，无圈的叉×、点（·）表示进、出磁场，等等.

（3）图表语言是指包含一定数据信息的各种图或表，分为图形语言、图像语言、表格语言三类. 图形语言和图像语言均表现为图，但区别在于图形（Graph）是矢量图（Vector Drawn），它是根据几何特性来绘制的，不是客观存在的，图形的元素是一些点、直线、弧线等，如果储存形式为电子形式，则可以无限缩放而不失真，常用几何画板、CAD绘图软件、Offcie、WPS办公软件、专业软件Origin、Matlab等绘制；图像（Image）是位图（Bitmap），它所包含的信息是用像素来度量的，图像是可以直接通过照相、扫描、摄像得到，也可以通过绘制得到，如果存储方式为电子方式，不可以无限放大，放大会失真.数学语言中的几何图形、算法流程图、直方图、散点图、树形图、韦恩图、函数图等，物理学中的v-t图、S-t图、F-t图、U-I图、运动轨迹图、电路图，仪器仪表图、波形图等均是图形语言.教材中的实物（体）图，物理学受力（示意）图、电路实物图、仪器仪表设备的实物图等等均为图像语言；表格，又称为表，即是一种可视化交流模式，又是一种组织整理数据的手段，后者如统计数据表、分析表等.

（4）形体语言是指用形体表达数学、物理规则，如确定解析几何的空间直角坐标系各轴正方向所用的右手定则和左手定则，判断通电导体在磁场中受到磁场力时的左手定则、判断导体切割磁感线运动产生的感应电流（或电动势）方向时的右手定则，判断电流产生的磁场的方向（磁感线方向）时的右手螺旋定则.

（5）组合语言，单独的符号语言、文字语言、图像语言、形体语言各有优缺点，表达有时尚不能达到需要，这时由符号语言、文字语言、图像语言、形体语言的两种及其以上组合使用，比如：为了表达清晰，图形、图像通常会有少量诸如图例（legend）、说明等文字，这时就是图形语言与文字语言形成的组合语言，物理、数学中的表达式（公式、等式、方程式）都是由符号语言和文字语言构成的组合语言，课堂上教师边演示右手（螺旋）定则、左手定则边讲解，是形体语言和文字语言的组合语言.

数学语言和物理语言都具有上述五种语言组成，但有区别，主要表现在内涵方面：

（1）文字语言：数学语言中的文字语言多用“定理、公理”，物理语言中多用“定律”表达.

（2）图表语言：数学语言中的图表语言多图形语言少图像语言，物理语言中的图形语言和图像语言分部一般比较均衡. 数学语言中的图形语言具有普适性，如y=kx可以表示所有成比例两个参数的关系，但物理学中诸如v-t图，两个成比例的参数v和t分别赋予了具体的含义，后者表示物体运动的时间，前者表示运动物体随时间变化的速度，阴影部分表示物体在0～t1时间内的位移.

（3）符号语言：数学语言中的符号语言比较抽象，物理语言中的符号语言一般比较形象.

（4）形体语言：数学语言中的左手定则、右手定则用于确定坐标轴正方向；物理语言中的左手定则、右手定则用于确定力、磁场的方向.

数学语言和物理语言都具有上述五种语言组成，各种语言都有自己的优缺点（见表1）.

数学语言与物理语言的特点

数学语言具有抽象性、准确性、简约性和符号化的特点，物理语言是在数学语言基础上进一步形成的，故物理语言具有数学語言的几乎全部特性，还具有模型性和实体性，下面分述之.

抽象性：严格地说，数学不是科学，而是科学方法；物理是科学，是最基础的科学，语言是思维的工具，思维是抽象的，故数理语言具有抽象性；

精确性：数学语言的每个词语（概念、符号、术语等）都有精确的含义，外延、内涵均不会含糊不清，这也是区别于自然语言之处.数学语言的表达形式与含义有确定的对应关系，如数学中的“和的平方”与“平方和”、“轴对称“与“对称轴”，物理学中“重量”与“重力”， “速度、功率、电阻、电流（强度）”等概念，以及物理学中“质量”（区别于自然语言中的“质量”），均以严密的数学描述方式加以定义.

简约性：与自然语言相比，物理语言、数学语言更简明，如：函数y=kx描述了所有两个变量之间的线性变化关系；牛顿第二定律采用文字语言表达为“在加速度和质量一定的情况下，物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，且与物体质量的倒数成正比”，采用符号语言表达为：F=ma，十分简约，简单的3个字母，一个符号，其揭示了包括天体运行、炮弹发射、自由落体等一系列与力和运动有关的现象，具有概括性.

符号化：数学语言形式化一个主要表象是“变元的使用”，从而使得数学语言能够很好地表达一般规律. 物理学中复杂的概念和量的关系是无法用文字语言的方式完整表达的. 物理学在语言方式上借鉴了数学的优点，运用符号、公式、图像等符号语言来定义物理量和表达它们之间的关系，如E=MC；

模型化：物理学创造了好多实际上生活中没有的理想状态和过程，我们称之为物理模型. 在忽略了次要因素和无关因素之后，我们可以把生活中好多现象和过程归入这些理想模型. 例如，质点、自由落体运动、点电荷、准静态过程以及光滑平面、理想气体.

实体化：数学要求在理论上达到自洽，物理要求自证真伪，与数学语言相比，物理研究对象是物体运动规律和物质基本结构，物理语言更具实体化，其符号、公式更具物理意义，如密度公式ρ=m/V，按照数学语言，当体积V一定时，密度ρ与质量m成正比，当质量一定时，密度与体积成反比；按物理语言，应该描述为“物体密度不变，物体质量与体积成正比”.

结语

数学语言、物理语言都是表达学科思维的工具，是学科交流的手段，掌握两种语言的异同和特点，并自觉应用于研究、学习、教学过程中，把自然语言转化为标准的数学语言或物理语言，并用标准的数学语言解答数学问题，标准的物理语言解答物理问题，以及数学思维解决物理问题，从而提高数学能力和物理能力.