刘婷
[摘 要] 反思对于数学解题来说是极其重要且必要的一个环节,但很多学生因为学习时间紧等诸多因素却往往将其忽略了. 事实上,解题之后如果能对自己的思路与解答进行仔细的检查与讨论,对于解题本身以及自身思维来说都是一种积极的完善.
[关键词] 高中数学;解题后;三思
如果将获得答案作为解题的唯一目的,那么认知体系的结构化、系统化是远远不能达成的. 反思对于数学解题来说是极其重要且必要的一个环节,但很多学生因为学习时间紧等诸多因素却往往将其忽略了. 事实上,解题之后如果能对自己的思路与解答进行仔细的检查与讨论,对于解题本身以及自身思维来说都是一种积极的完善. 那究竟在解题之后应该反思些什么呢?笔者结合自身的体会来具体谈一谈解题后的“三思”.
思考过程,去伪存真
解数学题时因为审题不清、知识缺陷、考虑粗略、计算偏差以及语言表述不规范等因素往往会产生一些错误.因此,解题之后对解题过程与结论进行回顾、评价以及验证是十分有必要的,这个过程对于学生思维的批判性与严谨性培养来说也是极其重要的.
例1:数列{an},{bn}为等比数列,当n≤3时,bn-an=n. 若数列{an}唯一,求a1的值.
这是某一次统考题中填空题的最后一题,大多数学生解题过程如下:因为n≤3时bn-an=n,所以b1=a1+1,b2=a2+2,b3=a3+3. 由{bn}为等比数列可知b=b1·b3,即(a2+2)2=(a1+1)(a3+3). 整理得a3-4a2+3a1-1=0. 设等比数列{an}公比是q,则a1q2-4a1q+3a1-1=0. 因为等比数列{an}唯一,则满足条件的公比q唯一,则:(1)Δ=0,不符合题意,舍去;(2)Δ>0且其中一个根是0,得q=4,a1=,经验证,符合题意,综上,a1=.
试卷给出的参考答案与大多学生的答案是一致的.事实上,解题之后对解题过程进行反思就会发现问题:数列{bn}为等比数列,可以得出b=b1·b3,若b=b1·b3,数列{bn}为等比数列这一结论就不一定会得到. 所以,当Δ>0时,必须验证两个公比q是否都符合题意,如果一个不符合,另一个符合,即满足题意.
所以,应该有三种情况:(1)Δ=0,得a1=-1,经验证,b1=0,不符合题意,舍去;(2)Δ>0,且其中一个根是0,得q=4,a1=,经验证,符合题意;(3)Δ>0且其中一个公比q使{bn}中有项为0,且另一个q符合题意.
若b1=0,则a1=-1,关于q的方程有唯一解q=2;
若b2=0,则a2=-2,关于q的方程有两个解q=2或q=;
若b3=0,则a3=-3,关于q的方程有q=;
当q=时,a1=-;当q=2时,a1=-1. 经检验,a1=-,关于q的方程有两个解q=和q=. 当q=时,符合题意. 综上所述,a1=或a1=-.
其实这是一道由高考题改编而来的题目. 原题如下:已知等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.
(1)若a=1时,求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}唯一,求a的值.
经比较,我们发现改编题中减少了a1>0这一条件,题目因此变得复杂.
经过上题中解题过程的反思,我们果然发现了问题,在纠正错误的过程中也使得解答更为完善,学生的认识以及思维的批判性、严谨性都得到了提升.
思考思路,提炼方法
验证解题过程的正确性自然是解题后反思的内容,但对题目的条件与结论进行重新审视也应该是包含其中的,这一过程的反思需要学生再次进行思维的动员、组织、辨认以及回忆,很多时候甚至需要学生进行问题构思的重新调整. 波利亚曾经说过这样一段话:有时候我们会很突然地得到一个巧妙的解法,就如一道灵感在我们脑中突然掠过,眼前豁然开朗就像看到了灿烂的阳光.由此可见,我们在解题时应有一题多解的思维意识与方向.
例2:已知函数f(x)=x+sinx,求实数a的取值范围,使不等式f(x)≥axcosx在0,上恒成立.
思路1(变量分离):
当x=0时,f(0)=0≥0恒成立;
当x∈0,时,分离变量后,原命题等价于a≤在x∈0,上恒成立,设h(x)=,则h′(x)==. 再令函数φ(x)=x+x2sinx-sinxcosx,则φ′(x)=1+2xsinx+x2cosx-cos2x+sin2x=2xsinx+x2cosx+2sin2x>0,所以,函数φ(x)=x+x2sinx-sinxcosx在x∈0,上单调递增,φ(x)>φ(0). 而φ(0)=0,即h′(x)>0,所以,函数h(x)=在x∈0,上单调递增.
因为===′,所以a≤2.
思路2(作差探究):
直接构造差函数g(x)=f(x)-axcosx=x+sinx-axcosx.
当a≤0时,f(x)=x+sinx≥axcosx恒成立.
当a>0时,g′(x)=1+cosx-a(cosx-xsinx)=1+(1-a)cosx+axsinx. 注意到0≤cosx≤1,1-a<1,只要1-a≥-1,则(1-a)·cosx≥-cosx,1+(1-a)cosx≥1-cosx≥0.所以,讨论参数a和2的大小就可以了.
综上所述,实数a的取值范围为a≤2.
思路3(直接放缩):