两道“解析”模拟考题的解法探究

孙世林

[摘 要] 解析几何综合题是每年高考的热点，也是重点；圆锥曲线问题综合性强，能力要求高，一直是考生最没把握、失分较多的内容，究其原因是没形成正确的解题思路，本文以两道模拟考题为例谈谈对于解析几何综合题如何形成正确的解题思路.

[关键词] 已知与结论；解题思路；自然生成

解析几何的综合问题，已知条件多，题干长，常涉及多个知识，对能力要求高，不少学生感到思路不清，难以入手，鉴于此，笔者结合2017年北京市高考模拟解析几何试题，谈谈个人的一些想法，谈谈如何自然形成解题思路，供大家参考.

从已知出发，循序渐进自然生成

已知条件是我们解题的重要依据，解题时要认真阅读已知，准确把握已知给了我们哪些信息？這些信息之间有什么关系？全面分析这些已知条件还可以得出哪些结论？这些结论和我们所要求的结论有什么关系？另外，还有要充分挖掘题目中隐藏的已知条件有哪些？弄清了这些问题，解题思路便可自然生成，问题不攻自破.

例1 （2017年高考西城区第一次模拟考试，理科19题）

如图1，已知椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为，F为椭圆C的右焦点，A（-a，0），AF=3.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M. 直线OM与直线x=4交于点D，过O且平行于AP的直线与直线x=4交于点E，求证：∠ODF=∠OEF.

分析1：本题的第一问很容易解决，第二问中P为椭圆上一点，AP的中点M与原点O连接并延长与直线x=4相交，形成点D，点E是过O且平行于AP的直线与直线x=4相交形成的，这样才出现了线段DF和EF，可见DF和EF都与点P有紧密的联系，所以我们就应从点P入手探究点D与点E具有怎样的位置关系？研究发现点D与点E与x轴没有对称关系，这样自然引领我们要探究EF与P点有紧密联系的直线MD的位置关系，接下来探究FD与OE的位置关系，这样本题的解题思路就生成了.

解法1：（1）椭圆C的方程是+=1.

（2）由（1）得A（-2，0）. 设AP的中点M（x0，y0），P（x1，y0）.

设直线AP的方程为：y=k（x+2）（k≠0），将其代入椭圆方程，整理得

（4k2+3）x2+16k2x+16k2-12=0，

所以-2+x1=.

所以x=，y0=k（x0+2）=，

即M，.

所以直线OM的斜率是= -，

所以直线OM的方程是y=-x. 令x=4，得D4，-.

设直线OE的方程是y=kx. 令x=4，得E（4，4k）.

由F（1，0），得直线EF的斜率是=，所以EF⊥OM，记垂足为H；

因为直线DF的斜率是=-，所以 DF⊥OE，记垂足为G.

在Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都与∠EOD互余，

所以∠ODF=∠OEF.

评析：通过上述分析及解题过程可以看出解题思路的形成是从已知入手，从已知条件间的联系出发，探究从已知得出的相关点、线、角间的关系，循序渐进地得出所要求的结论. 因此解题中要善于利用已知条件，这里所说的已知条件既有题目中直接给出的，也有隐含的需要我们进一步挖掘才能得出的条件.

分析2：如何使解题过程简便快捷，运算量小一些，一直是考生们所追求的，在解法1中，我们从直线AP的方程出发，运算量略显大些，如何解决？在本题中，点P为椭圆上的动点，点E和点D随着点P的运动变化而变化，点P的运动变化是主动的，所以我们从点P的坐标出发，用点P的坐标表示点E和点D的坐标，从而刻画EF和FD的运动变化，探究EF与直线MD的位置关系，这样，从点P的坐标入手成为解决本题的自然选择.

解法2：（1）椭圆C的方程是+=1.

（2）由（1）得A（-2，0）. 设P（x1，y1）（x1≠±2），其中3x+4y-12=0.

因为AP的中点为M，所以M，.

所以直线OM的斜率是kOM=，

所以直线OM的方程是y=x. 令x=4，得D4，.

直线OE的方程是y=x. 令x=4，得E4，.

由F（1，0），得直线EF的斜率是kEF=，

因为kEF·kOM=·==-1，

所以EF⊥OM，记垂足为H；

同理可得kDF·kOE=·==-1，

所以DF⊥OE，记垂足为G

在Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都与∠EOD互余，

所以∠ODF=∠OEF.

评析：解析几何综合问题常在运动变化过程中探究某些不变的性质与规律，对于这类运动变化问题，解题时要从已知出发深入探究产生运动变化的根源，从产生运动变化的根源入手，选择好从直线方程入手还是从点的坐标入手，就可以简化计算过程，自然快捷地解决此类问题.

从结论入手，执果索因由此及彼

例2 （2017年高考北京市海淀区第一次模拟考试，文科19题）

已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A，B，且AB=4，离心率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设点Q（4，0）， 若点P在直线x=4上，直线BP与椭圆交于另一点M，判断是否存在点P，使得四边形APQM为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

分析：是否存在点P，使得四边形APQM为梯形？很自然想到假设成立，将四边形APQM为梯形视为已知反推点P所满足的条件，由已知显然AM，PQ不平行，所以AP与MQ平行，平行我们又很自然地想到斜率相等，在AP与MQ斜率相等的条件下求点P的坐标，这里我们可以有三种思路：

思路一：因为点P在直线x=4上，所以可设点P（4，y0），由此得出直线BP的方程，从而用点P的坐标P（4，y0）表示点M的坐标，最后利用AP与MQ斜率相等的条件下求点P的坐标.

思路二：从直线AP入手，由于点A已知，所以设AP所在直线为y=k（x+2），利用点P在直线x=4上将点P的坐标用k表示，从而得出直线BP的方程，利用点M是直线BP与椭圆的交点，将点M坐标也用k表示，最后利用AP与MQ斜率相等的条件下求点P的坐标；本思路中要经历两次解方程组，特别是求点M坐标时注意韦达定理的应用，以简化运算.

思路三：从直线BP入手，由于点B已知，所以设BP所在直线为x=ty+2，利用点P在直线x=4上将点P的坐标用t表示，利用点M是BP与椭圆的交点，将点M坐标也用t表示，最后利用AP与MQ斜率相等的条件下求点P的坐标；观察发现直线BP一定存在斜率，所以本思路中直线BP的方程我们采取了横截距式，与思路二对比大大降低了运算量.

解法1：（1）椭圆C的方程为+=1.

（2）假设存在点P，使得四边形APQM为梯形.

由题可知，显然AM，PQ不平行，所以AP与MQ平行，即kAP=kMQ.

设点P（4，y0），M（x1，y1），kAP=，kMQ=，

所以=①，

所以直线PB方程为y=（x-2）.

由点M在直线PB上，则y1=（x1-2）②.

①②联立，=，显然y0≠0，可解得x1=1.

又由点M在椭圆上，+=1，所以y=±，即M1，±，

将其代入①，解得y0=±3，

所以 P（4，±3）.

解法2：（1）椭圆C的方程为+=1.

（2）假设存在点P，使得四边形APQM为梯形.

由题可知，显然AM，PQ不平行，所以AP与MQ平行，kAP=kMQ，

显然直线AP斜率存在，设直线AP方程为y=k（x+2）.

由y=k（x+2），x=4，所以y=6k，所以P（4，6k）.

又B（2，0），所以kPB==3k.

所以 直线PB方程为y=3k（x-2），

由y=3k（x-2），3x2+4y2-12=0， 消y，

得（12k2+1）x2-48k2x+48k2-4=0.

又B（2，0），所以2+x=，即x1=，

所以y1=3k（x1-2）=.

所以M，.

由kAP=kMQ可得=，

解得k=±，

所以M1，±，P（4，±3），

解法3：（1）椭圆C的方程为+=1.

（2）假设存在点P，使得四边形APQM为梯形.

由题可知，显然AM，PQ不平行，所以AP与MQ平行，kAP=kMQ.

显然直线MB存在斜率且斜率不为0，

所以设直线MB方程为x=ty+2（t≠0）.

由x=ty+2，x=4，得P4，.

所以kAP==.

由x=ty+2，3x2+4y2-12=0，

得（3t2+4）y2+12ty=0.

设M（x1，y1），又因为B（2，0），

所以y1=，

所以x1=ty1+2=，

即M，

由kAP=kMQ，所以=，解得t=±，所以P（4，±3）.

评析：在解决解析几何综合问题时，有时若直接求解，常常感觉不知从何入手，我们可以尝试从结论入手，观察结论和已知条件有什么关系，探究结论成立时应满足什么条件. 执果索因，往往可使解题思路豁然开朗.

善于将问题进行转化，从几何角度寻求突破

“解析几何”首先是几何问题，利用平面几何知识解决问题也是不可或缺的方法，解析几何问题中蕴含很多几何条件，这些几何条件间有什么关系？从某些几何条件出发能得到什么样的新几何关系？某些几何关系成立需要有怎样的几何条件？随着这些疑问的探究和解决，解题思路也就自然的生成了，请看例2的第四种解题思路：

分析：四边形APQM为梯形，由题可知，显然AM，PQ不平行，所以AP与MQ平行.由平行的性质可得：=，因为A，B，Q三点已知，所以=，而BM与BP之比又可以转化为与x轴平行的线段长度之比，如图5可以过点M作MH⊥AB于H，则有==， 这样就可以确定点M的坐标，从而得出点P的坐标.

解法4：假设存在点P，使得四边形APQM为梯形.

由题可知，显然AM，PQ不平行，所以AP与MQ平行，

所以=，所以=.

设点M（x1，y1），P（4，t）.

过点M作MH⊥AB于H，则有==，

所以BH=1，

所以H（1，0），即x1=1，代入椭圆方程，求得y1=±，

所以P（4，±3）.

评析：解析几何的核心方法是用代数的方法研究几何问题，在解题过程中，利用平面几何知识研究题目中的几何关系是必要的，在这个过程中要经历文字信息、图形特征和符号语言之间的多重转换，因此，我们必须重视对几何关系的深入研究，在用恰当的代数形式表示题目中的几何关系，从而形成正确的解题思路.

解析几何综合题综合性强，能力要求高，是每年高考的热点，也是重点；高考的解析几何考题常考常新，难免会有学生陌生的题目，但陌生往往只是在形式上的，本质不会超出我們所学的知识范畴，只要我们遵循解题的基本规律，抓住学科知识本质，认真探究已知、结论间的本质联系，解题思路定会“柳暗花明”，事半功倍地解决好解析几何的综合问题.