高考数学中圆锥曲线试题解法探究

丁宇韬

[摘 要] 圆锥曲线相关知识点是高中数学的一个重点和难点，同时也是高考数学的必考内容之一. 在解答圆锥曲线相关试题过程中，巧用特殊值法、几何法、参数方程等方法往往可以避免繁杂的计算，从而达到事半功倍的效果.

[关键词] 圆锥曲线：解析法；特殊值法；几何法；参数方程

圆锥曲线相关知识点一直是我们高中数学学习的难点，但却也是高考重点.在近几年的新课标全国卷试题中圆锥曲线的相关内容所占分值为22分，考查的形式为“两小一大”，分别是一道填空题、一道选择题和一道解答题，而考查的内容除了对基本概念和性质的掌握，更考查我们的计算能力，以及分析和解决问题的能力. 圆锥曲线试题中繁杂的计算不但会花掉大量宝贵的考试时间，而且也容易出错，往往得不償失. 因此在解答时间有限的情况下，采用简单有效的解题方法是得分的关键. 本文结合自己在解决圆锥曲线相关问题中的体会，总结了以下几点解决方法，供大家参考.

特殊值法

例1：如图1，A1，A2为椭圆+=1的长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A1，A2的三点，直线QA1，QA2，OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则OS2+OT2等于（ ）

A. 5 B. 5+

C. 15 D. 21

方法一：解析法

设Q（x0，y0），S（x1，y1），T（x2，y2），则y=（16-x）. 设直线OS，OT的方程分别为：y=k1x，y=k2x，则kA2Q=k1，kA1Q=k2，则k1·k2=·==-. 由y=k1x，+=1，计算得出x=，y=. 同理，y=，y=. 由两点间距离公式可知：

OS2+OT2=x+y+x+y=+

=+

==21.

方法二：特殊值法

由椭圆+=1，焦点在x轴上，当Q选在短轴的端点上，取Q（0，）. 因为A1（-4，0），A2（4，0），知QA1斜率为k=，即直线OT方程为y=x，由y=x，+=1，

计算可得T点坐标为T2，，故OT=. 由对称性可以知道OS=OT=，从而得OS2+OT2=21.

从此例可以看出，与解析法相比较，特殊值法有效地避免了复杂的计算过程，节约了做题时间.特殊值法是我们解答选择题和填空题的最好方法之一. 同时，特殊值法也是我们在解答填空题时的优选方法之一.

几何法

例2：设椭圆：+=1（a>b>0）的右顶点为A、右焦点为F，B为椭圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于另一点C（O为坐标原点），若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为（ ）

A. B.

C. D.

方法一：解析法

延长BF与AC交于M，由已知条件知A（a，0），F（c，0），设B（x0，y0），C（-x0，-y0），则M，. 利用B，F，M三点共线可知kBF=kFM，则=？圯-c=？圯-c=？圯=，从而可以得到： e==.

方法二：几何法

连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且=，即=？圯e==.

从此例可以看出，与解析法相比较，灵活运用平面几何知识同样可以避免繁杂的计算.

参数方程

例3：已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左焦点为F，A1，为椭圆上一点，AF交y轴于点M，且M为AF的中点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）直线L与椭圆C有且只有一个公共点A，平行于OA的直线交L于P，交椭圆C于不同的两点D，E，问是否存在常数λ，使得PA2=λPD·PE？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.

解：（Ⅰ）椭圆的方程为+y2=1；

（Ⅱ）方法一：直线L的方程为+=1. 设直线DE的方程为y=x+t，解方程组y=x+t，+y2=1消y得x2+tx+t2-1=0. 设D（x1，y1），E（x2，y2），则x1+x2=-t，x1x2=t2-1，从而PD·PE=xP-x1·xP-x2=x-xP（x1+x2）+x1x2. 联立L的方程和DE的方程得P点坐标xP=，yP=. 从而，PD·PE=t2，AP2=-12+-2=t2，所以，λ=1.

方法二：直线L的方程为+=1. 设P（x0，y0），P在直线L上，则x0+y0-2=0. 设DE的倾斜角为α，由DE平行于OA得cosα=，sinα=，

所以设DE的参数方程为x=x0+t，y=y0+t（t为参数），代入+y2=1得x0+t+2y0+t-2=0，

即t2+x0+y0t+x+2y-2=0. 设此方程两个根分别为t1和t2，则

PD·PE=t1t2==3y-3y0+，

PA2=（x0-1）2+y0-=x+y-2x0-y0+=3y-3y0+，故PA2=PD·PE，从而得λ=1.

从此例可以看出，利用直线的参数方程避免了P点坐标的计算，从而降低了计算难度.另外，利用圆锥曲线的参数方程形式可以将圆锥曲线上任意的坐标用三角函数表示，进而借助于三角函数知识有效解决相关问题，如下例.

例4：在椭圆+=1求一点P，使P到直线L：x+2y-10=0的距离最小.

解：方法一：将直线平移至与椭圆相切，切点即为所求.

方法二：设椭圆参数方程为x=3cosφ，y=2sinφ （φ为参数），

设P（3cosφ，2sinφ）为椭圆上任意一点，则P到直线L：x+2y-10=0的距离d==.所以，当φ=φ0时d取得最小值，其中φ0满足cosφ0=，sinφ0=，此时3cosφ=3cosφ0=，2sinφ=2sinφ0=，

所以当P点为P，时，到直线L：x+2y-10=0的距离最小，最小值为.