探究数列问题的思想方法

卓雅

[摘 要] 数列是高中的主干内容，是学习基础数学不可或缺的知识，高考对数列的综合性及创新性要求较高，注重思维方法和逻辑推理的考查. 本文就2015年广东卷的一道数列压轴题进行分析拓展，给出了相应的教学建议，希望对师生有所帮助.

[关键词] 数列；等比数列；化归思想；缩放法

高考数列题型综合性强，注重知识点之间的结合，难度较大，解决此类问题要从基础入手，注意思维方式以及通性方法的学习. 课堂教学以引导为主，注重思路的拓展和逻辑推理，通过对真题的变式分析提升学生的解题能力.

真题呈现

试题（2015年广东卷）数列{an}满足a1+2a2+3a3+···+nan=4-，n∈N.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项之和Tn；

（3）令b1=a1，bn=+1+++…+an（n≥2），证明：数列{bn}的前n项之和Sn满足Sn<2+2lnn.

解法探究及评析

1. 解法探究

（1）对于题干所给出的条件“a1+2a2+3a3+···+nan=4-”，可以利用“an=Sn-Sn-1（n≥2）”求解.

当n≥2时，设Mn=a1+2a2+3a3+…+nan=4-，则Mn-1=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=4-，Mn-Mn-1=nan=-=，所以an=n-1.

又因为a1=4-=1=1-1也符合条件，所以可得an=n-1.

（2）由（1）可知，数列{an}是等比数列，它的首项为1，公比为，因此它的前n项之和为Tn==2-n-1.

（3）证明：根据题意可知，当n≥2时，bn=+1++…+·an，b1=a1，b2=+1+a2，b3=+1++a3，所以有Sn=b1+b2+b3+…+bn=1++…+·（a1+a2+an+…+an）=1++···+Tn=1+++…+·2-<21++…+.

由问题所证明的结论“Sn<2+2lnn”入手，利用缩放法可得出Sn<21+++…+后，则问题可以转化为求证21+++…+<2+2lnn=2（1+lnn），即++…+

因上式不等式的左边有（n-1）项，则可以考虑将lnn分裂为n-1项的和，又可知lnn=lnn-ln（n-1）+ln（n-1）-ln（n-2）+…+ln2-ln1=ln+ln+…+ln，因此可将问题转化为证明ln>. 此时用构造函数的方法解决.

设f（x）=lnx+-1（x>1），则f′（x）=-=>0，所以可知f（x）在（1，+∞）上是增函数. 因为f（1）=0，所以f（x）>0. 又因为k≥2且k∈N*时，>1，所以f=ln+-1>0，即ln>，所以

2. 试题评析

数列是高考考查的重点，本题考查了求数列的通项公式、前n项之和以及证明不等式，题目难度较高，求通项公式和证明不等式分别采用了前n项之和互减法和缩放法，对方法的选取以及逻辑思维能力的考查是本题的重点，对于学生学习参照具有帮助.

试题拓展与延伸

在高考和模拟中都注重对数列的考查，经常以压轴题的形式出现，下面笔者将列举两道同类似的题目.

试题1（2016年江苏卷）记U={1，2，…，100}，对数列{an}（n∈N*）和U的子集T，若T=，定义S=0；若T={t1，t2，…，tk}，定义ST=at1+at2+…+atk.例如：T={1，3，66}时，ST=a1+a3+a66. 现设{an}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，ST=30.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T{1，2，…，k}，求证：ST

（3）设CU，DU，SC≥SD，求证：SC+SC∩D≥2SD.

试题2（2016年天津卷） 已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N*，bn是an和an+1的等比中项.

（1）设cn=b-b，n∈N*，求证：{cn}是等比数列；

（2）设a1=d，Tn=（-1）nb，n∈N*，求证：<.

上述两道数列题都给出了关于数列的关系，通过对关系式的分析变形则可以求得数列的性质，解决数列求和问题常采用的方法有分组求和、裂项相消、错位相减、倒序相加，不同类型按不同的方法处理，对于不等式的证明可以先进行缩放，然后构造函数进行分析.

教学思考与建议

1. 注重基础，综合复习

高考数学试题中数列占很重要的一部分，但出题紧扣基础，重点突出，主要考查等差数列和等比数列的概念和性质，紧密围绕教科书，出题的形式千变外化，设问通常加强了与三角函数、不等式、极限等知识点的联系，但万变不离其宗. 在教学复习指导中，要注意紧抓基础，重点知识重点讲授，可以通过专题讲解的方式来加强学生处理数列综合知识的能力，同时加强各知识点之间的联系，灵活运用数列的相关思想解决问题，在对数列的分析中引导学生感受数学思想，思维的拓展、方法的学习才是教学的重点.

2. 研究模型，提升能力

數列的主干包含等差和等比两大数学模型，数列是一种特殊的函数，从函数图像的角度来研究数列也是一种有效的方法，可以通过对数列的直线模型和指数模型的研究来拓宽思路，有助于解决数列问题. 两大基本模型是高考的难点，数列问题包括递推数列的通项、探究数列性质、分析数列交汇问题等方面，课改的推进并没有降低数列的难度，对思想要求有所提升，利用归化思想构造数列，对新的数列进行分析成为研究问题的一种重要手段，在教学中要努力培养学生的推理能力和思维化归能力. 研究复杂问题可以利用“特殊到一般”的方法，在列举中发现规律，即化归思想. 知识的学习很重要，对学生思想方法的培养更为重要.

3. 精化设问，注重创新

今年的高考题的命题趋势是情景设问、注重创新，创新意识的考查成为高考的一大特点，因此在日常的教学复习中，教师要进行相应的情景教学，围绕母题进行方法拓展、命题情景的创新设问，联系生活场景、科学场景，思维方式等进行教学革新. 数列基础知识下的改编创新是高考的趋势也应该是高中教学的方向，通过情景创新教学，使学生更好地掌握数列的相关知识，培养学生理解、思考、探究、再创造的能力，培养创新思维方式也可以较好地应对高考的创新题型，提高学生自身的创新品质，从思想上拥有创新意识.

写在最后

数列是高中的重难点知识，高考大纲对数列的考查注重题型创新以及思想方法，教学的开展应紧密围绕数列的核心知识，注重各知识点之间的联系，开展创新情景教学，培养学生的创新思维和逻辑推理能力.