重视本质贵在自然

潘敬贞　王晓川

[摘 要] 函数是高中数学的重难点内容，也是培养高中生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养的最佳素材之一. 虽然在初中已接触过函数概念，但由于高中数学函数概念的视角不同，函数符号比较抽象等特点，学生比较难以理解.新课程提倡通过列举丰富的实例，让学生了解函数产生的背景，加深学生对函数概念的认识. 但在解决有关函数问题时由于对函数符号和函数概念的本质缺乏深刻理解，不少学生面对应用函数概念解决有关问题时感觉无从下手，困难重重. 因此上好高中函数的概念课，让刚踏入高中的学生顺利通过学习函数的“难关”，增强学生学习数学的信心显得尤为重要. 本文从重视已学函数模型在函数概念教学中的应用和加强函数概念本质的理解两个视角，结合实例探讨高中数学函数的概念教学，仅供大家参考.

[关键词] 高中数学；函数概念；教学探讨

函数是高中数学的重难点内容，也是培养高中生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养的最佳素材之一.高中数学人教版A版必修一第一章第二节内容就是函数概念，是高一学生进入高中学习后很快就要学习到的内容.虽然在初中已接触过函数的概念，但由于高中数学函数概念视角不同，高中数学更注重从集合语言和映射的角度阐述函数概念. 同时函数符号比较抽象，想让刚上高中的学生很好地理解高中函数概念的本质并非一件容易之事，不少学生认为学习函数有困难. 新课程也考虑到高中生的认知特点，为此提倡通过列举丰富的实例揭示函数产生的背景，加深学生对函数概念的认识，有利于学生理解函数概念的形成过程，掌握函数概念的来龙去脉. 但由于对函数概念的本质缺乏深刻理解，不少学生在学习函数的过程中，面对应用函数概念解决有关问题时仍感觉无从下手，困难重重.不少学生因此对数学学习失去了信心，学习数学的兴趣也随之减弱乃至消失. 因此，上好高中函数的概念课，使学生掌握函数概念的本质，让刚踏入高中的他们顺利通过学习函数的难关，增强学生学习数学的信心和激发学生学习数学的兴趣显得很重要. 上好高中函数的概念课，除了充分备课、认真设计教学环节外，还要科学地处理教学内容，选择恰当的教学素材客观地看待学生现有的认知水平，充分了解学生的“最近发展区”，选择合适教学素材、恰当的教学方法与手段工具帮助学生对知识进行建构，使学生对知识的产生与消化更加自然. 因此认为重视已学函数模型和加强对函数概念与符号的理解对函数概念的教学很重要，更能突出函数概念的本质，概念的形成过程自然.

重视已学函数模型的应用

通过列举丰富的实例让学生感受函数离我们生活很近，体会函数与实际生活有着紧密联系，加深学生对函数的感性认识. 重视对已学函数模型的应用，让学生在学习高中数学函数概念的过程中，感到不陌生、有亲切感，这样有利于学生增强学习函数的信心，有利于学生构建和内化新知识，拓宽学生的“最近发展区”. 在列举丰富实例时，加强与初中已学函数模型（一次函数、二次函数、反比例函数）相关的例子结合例题选材要尽可能地贴近所教班级学生的实际，使学生更快融入教学情境，更好地激发学生的学习热情，促进师生的有效互动，有利于师生对课堂教学内容达成更多“共识”，促进构筑高效课堂.

例如列举与一次函数有关的实例：某校需刻录一些电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元；若学校自刻，除租用刻录机120元外，每张还需成本4元，问这些光盘是到电脑公司刻录，还是学校自己刻费用较省？与二次函数有关的实例：已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可以賣出300件.市场调查反映：如果调整售价，每涨1元，每星期要少卖10件. 想要获利6090元的利润，该商品应该定价为多少元？与反比例函数有关的实例：码头工人以每天30吨的速度往一轮船上装载货物，装载完毕恰好用了8天时间. （1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v与卸货时间t之间的函数关系？（2）由于遇到紧急情况，船上货物必须在不超过5天内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？以上三个例子的素材都来自于生活中的实际情境，教师也可以根据自己生活中的实际情境选择更多学生熟悉的案例经过加工处理后作为课堂教学素材，这样更有利于调动学生学习的积极性，使得函数概念的来龙去脉更清晰.

磨刀不误砍柴工，列举丰富实例让学生了解函数产生的背景，通过对实际问题的解决让学生感受数学的作用与魅力. 用一到两个课时列举实例和用已学函数模型解决实际问题，使学生在继续学习函数知识时不会感觉唐突、陌生、困难，从而使衔接新知识自然流畅.对激发学生学习数学的兴趣，增强学生学习数学的信心有积极的意义.

加强函数概念的理解

通过丰富的实例揭示函数产生的背景，让学生对函数有感性认识之后，应当重视函数概念的本质内涵以及理解当中函数概念的符号.

高中数学人教版A版必修一中函数的定义为：“设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫自变量，x的取值范围A叫作函数y=f（x）的定义域；与x的值相对应的y的值叫作函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}（{f（x）|x∈A}B）叫作函数y=f（x）的值域.”这个概念中涉及函数概念的符号、函数定义域、对应法则、值域，想要弄清楚函数概念的本质就必须对函数概念的符号、函数定义域、对应法则、值域有全面深刻的理解与认识.

1. 数学符号的理解

数学符号是数学的重要语言，理解数学符号是学习数学概念的基础.因此准确理解函数符号是学习函数概念的基本前提.

（1）对符号y=f（x）的理解

函数符号y=f（x）表示非空数集A中的x与非空数集B中的y存在某种确定的对应关系，也可以说y是x的函数，简记f（x）. 如：f（1）=2表示非空数集合A中的元素1通过某种确定的对应关系（某种运算）后与非空数集合B中的元素2对应，也就是1对应的函数值是2.

（2）对符号f的理解

函数概念本质是定义域和对应法则，因此理解对应法则是理解函数概念的关键，而函数符号中的f为对应法则，即非空数集A中的x与非空数集B中的y存在某种确定的对应关系. 举例说明如下：

①“f：x2”表示非空数集A中的每一个元素x，通过平方运算后得非空数集B中对应的y，简记f（x）=x2，亦称函数表达式或解析式.

②“f（x）=x2+2x-3”表示非空数集A中的每一个元素x，通过平方运算即x2，再将非空数集A中的每一个元素x乘以2即2x，最后将x2、2x、-3求和运算得非空数集B中对应的y.

③“已知f（x）=x2-2x+3求f（a+1）的值”表示已知非空数集A中的每一个元素x与非空数集B中对应的y存在确定的对应关系（法则）是f（x）=x2-2x+3，问非空数集A中的元素a+1通过确定的对应关系（法则）得到非空数集B中对应的y是多少. 因为非空数集A中的元素a+1，所以直接将对应关系（法则）f（x）=x2-2x+3中的x换成a+1，即f（a+1）=（a+1）2-2（a+1）+3.

④f（x）=x2与y=x2的区别：f（x）=x2与y=x2本质是一样的，表示同一个意思. 因为非空数集A中的x与非空数集B中的y存在某种确定的对应关系，可表示为y=f（x），所以y=x2的y可换成f（x），f（x）=x2中的f（x）可换成y，其含义是一样的，只是用f（x）表示更加直观，平时也习惯用f（x）表示. 当然，当变量较多时用y表示就有局限性，如：y=ax2+a2x-3中的x与a哪个是自变量就不清楚，但用f（x）表示就很直观，比如f（x）=ax2+a2x-3的自变量是x，f（a）=ax2+a2x-3的自变量是a.

2. 函数定义域与值域的理解与应用

集合A为函数的定义域；{f（x）x∈A}为值域； {f（x）x∈A}B（注意：{f（x）x∈A}是集合B的子集，不一定相等），f为对应法则，亦称函数解析式. 注意函数值域是函数定义域在函数对应法则下产生的，因此理解函数定义域与对应法则显得非常关键. 举例说明如下：

（1）M={x0≤x≤2}，N={y0≤y≤3}给出的四个图形，其中能表示集合M到N的函數关系的是（ ）

根据函数概念可知，集合M中的每个元素在集合N中必有唯一的元素与之对应.观察A可知，集合M中区间（1，2]中的每个元素在集合N没有元素与之对应；B、C图都满足集合M中的每个元素在集合N中必有唯一的元素与之对应；观察D可知集合M中的每个元素在集合N中有一个或两个元素与之对应，不符合函数的概念，所以B、C符合题意.

（2）设M={x-2≤x≤2}，N={y0≤y≤2}，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图像可以是（ ）

本题与上一道题有着本质的区别，问题是：集合M中的每个元通过某种确定的对应关系得集合N. 解答本题只要满足两个条件即可：第一，首先满足函数的概念，C图显然不满足；第二，x的范围为[-2，2]，y的范围为[0，2]，观察图像可知A图像与D图像显然不满足，只有B符合题意. 解决以上两个问题的关键是准确地理解函数概念的本质.

一切教学都应考虑学生的现有认知水平、思维习惯和特点，充分了解学生的“最近发展区”，科学选择教学素材.教学设计与实施都应围绕“以学生为中心”，一切设计与操作都应本着是否有利于学生顺利对知识吸收与构建的基础，内化新的概念和新的知识.一切的概念教学都要突出概念的本质，概念的形成过程要自然.高中函数概念是高中数学的核心概念，是教学的重难点.只有重视结合学生的现有学习生活经验，列举丰富实例并有效结合已学函数模型在高中函数概念教学中进行应用，方可达到突出高中函数概念的本质，函数概念的形成更为自然，同时可使学生顺利地通过高一数学学习的“难关”，并形成良性循环.