2014年湖北（理）函数压轴题的另解研究

☉湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学 黄 衡

现有的2014年湖北省（理）高考压轴题的解法都是将第（1）问的结论作为第（2）问和第（3）问的引理，直接推导得出后面的结论.笔者在认真思考后，发现还有多种不同的解法，比如放缩法和构造函数法等.原题如下：

题目 π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数.

（2）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；

（3）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.

第（1）问属于“套路题”，运用导数的运算法则和几何意义来对函数的单调性进行判断，这里不再累述.第（2）问的实质在于判别并证明ab与ba（a，b∈R+）之间的大小.利用第（2）问的判别结论，第（3）问的考点则在于判别e3与πe的大小.

以下给出第（2）问和第（3）问的放缩法和构造函数法的具体解答方法.

方法一：放缩法

根据已有的知识积累，我们知道对于任意的x，当x＞0时，都有ex＞1+x和ln（1+x）＞两式成立（.严格的证明可以将不等式的右边项移到左边后，将左边项设为一个新的构造函数，利用它们的一阶导数在x＞0时的结论，证明它们在此区间内单调递增且恒大于零.此处证明省略）

第（2）问的解答：利用ex＞1+x，判别ab与ba之间的大小.

根据题意，设e≤a＜b.因为logba=alogb==

方法二：构造函数法

第（2）问的解答：利用构造的函数P（x）=alnx-xlna，判别ax与xa之间的大小.

第（3）问的解答：利用构造的函数P（x）=elnx-x，判别e3与πe的大小.

至此，第（2）问和第（3）问都分别用放缩法和构造函数法解答完毕.

总结：对于函数综合题中常见不等式的证明及对特殊点处的估值等高考热点，放缩法和构造函数法都是破解它们常用的解析思路和方法.

1.2014年湖北省高考数学理科试题及解析.百度文库.

2.（美）M.R.施皮格尔，箸.施建兵，朱卓宇，等译.全美经典学习指导系列——微积分［M］，北京：科学出版社，2002.F