坚守发展学生数学核心素养的主阵地——课堂

☉湖北省华中师范大学第一附属中学 周龙虎 殷希群

课程改革深度聚焦于“核心素养”，旨在积极探索发展学生核心素养的途径与举措，从而实现“培养人”这一工程的精细分解与核心把握.我们都不会否认一个共识，学科核心素养的落地点主要是课堂.什么样的课堂才能实现核心素养“落地”呢？我想绝不是指向解题技能的课堂，也不应是指向知识运用的课堂，而是指向思维培养的课堂.培养思维的过程就是培育核心素养的过程.章建跃博士认为“发展学生数学核心素养的教学”与“思维的教学”并没有本质差别，不必把它神秘化了.在深化教育改革的今天，我们的确没有必要另起炉灶去落实核心素养，但我们同时也要认识到思维的教学不能纸上谈兵，要有对象（即内容）；不能泛泛而论，要有针对性（即核心），发展核心素养是精致化的思维教学，并为发展全面素养服务.从课堂所承载的任务来看，学生在教师引导下通过对基础知识的学习以掌握基本技能，并领会基本思想，积累基本活动经验，长此以往才能形成“会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界”（史宁中语）的学科核心素养，并最终进阶为有理性精神、乐于协作、善于交往、敢于质疑、勇于创新的核心素养.我们对课堂的期许不能止于某一阶段（实际上，只有极少数的课上升到了“核心素养”的层面上），否则这样的课大多都会沦为低效，甚至是低品位的，它与素养是无关的.

高中数学课程标准修订组从学科本身特征以及学科价值提炼出高中数学核心素养的六大要素：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.数学抽象与数学概念息息相关，通过观察生活实例、特殊事例，探究出研究对象的一般本质.逻辑推理，学生经历创设情境，归纳事例、推理命题，得出数学结论.数学建模源于数学，用于生活，重在培养学生解决实际问题的能力.直观想象与几何密切相关，观察图形特征，直观感受，有助于学生空间想象能力的形成、直观模型的建构.数学运算贯穿于代数领域，数的学习有利于数感的形成，数感的建立有助于学生对数的理解.数据分析与统计相关，信息源于数据，通过分析数据，形成分析数据的能力.“要素集”的确定，对于我们教学目标的制订、教学观察以及学习评价提供了新视角与多维度.数学核心素养源于课程内容，高于课程内容.数学核心素养高度抽象，反应数学的本质和思想，是蕴含于课堂中的.课堂教学中，教师通过情境的创设、问题的启发、思维的引导等等，可以帮助学生经历观察、分析、讨论、归纳、推理、建构等过程，使得学生的数学学习逻辑连贯一致、思维系统统一，最终形成超越知识与技能的数学核心素养.

我们所追求的“生本”或“生态”课堂应是平衡的课堂，如课堂控制与课堂自由的平衡、“问”与“教”的平衡、体现过程与追求结果的平衡等等，动态平衡才是最稳定的平衡，一成不变终会发生倾斜.因而课堂的常态应是“变化中的课堂”.不同教学内容下教与学的方式的多样性，能有效拉近与数学的距离，从而实现学科核心素养的软着陆.具备了学科认同感，兴趣方能引领学科核心素养.教师的预设与学生课堂学习活动所生成的真实教学过程是不太一致的.课堂教学不是按照剧本演戏，每时每刻都可能发展“美丽的意外”.这种变化的课堂，不仅拉近学生与数学的距离，擦出思想的火花，更让学生对数学有高度的认同感.比如，偶尔出现的类比、推理、归纳、联想、特殊化等思维活动，都能提出问题，形成研究思路.变化中的课堂，创造了多样的思维活动，起到了数学知识和数学思想的育人价值，是实现“四基”“四能”向核心素养过渡的主渠道，是实现发展数学核心素养的主阵地.

课堂的生长力和张力始于教学理解，以教学设计的方式.教学设计的出发点应是“培育什么类型的核心素养，方式是怎样的”.培养素养要面对全体学生，关注他们的认知基础；要倡导建构式学习，关注他们探索的过程；要着眼发展，要把核心素养的培养当成教育的最终目标.

深刻的教材分析，巧妙的知识处理，恰当的教法选用，是上好一节课的必备举措，更是培养数学核心素养的基本保障.

教材如何利用？笼统地说，首先，教师要学习、掌握教材知识，即教师先学与学生后学产生共情；其次，教师要深刻理解教材、剖析教材，即明确从何处舀一桶水，何处盛一碗水，做到必讲时透彻之致，不讲则据为教学底气.是“用教材教”还是“教教材”，是“直译教材”还是“重组教材”，对教材和认识深浅与处理方式折射出不同的教材观.数学教材是众多专家学者的智慧结晶，兼具科学性、权威性.探析教材的意蕴与风格，我们可以体会它的简洁之美、概括之准、说理之强.更重要地是站位于学生视角，文本素材的背后是已有经验与新知欲求的关联与冲突，是学科方法与核心思想的集中反映，是透过现象看本质的智慧启迪.

以“核心素养”为本位的教育从以“知识”为本位的教育一路走来，我们不能盲目摒弃传统，要以正确的知识观作指引，知识才能形成能力，能力才能塑就素养.什么是正确的知识观呢？新知识观认为，认识对象并不是独立于主体的客观存在，缺乏认识主体的认识兴趣及其他许多与认识行为相关的条件，就不会有任何的认识对象.学习者要认识到：知识应该置于不同环境，环境可以告知知识的意义与价值；知识要相互联系（即知识不能形成“孤岛”），唯有逻辑才是联通知识的针线；知识要发生作用，知识能释义（不仅唯于知识范畴），能体现人的情感态度及价值观.

如何根据教学内容和学生实际确定教学方式，我们可以从最近发展区理论中得到启示.维果斯基曾特别指出：“我们至少应该确定儿童发展的两种水平（已经达到的与可能达到的水平），如果不了解这两种水平，我们将不可能在每一种具体情况下，在儿童发展进程与接受教育可能性之间找到正确的关系”.教师是“多教”还是“少教”，引导的时机如何把握，教学的节奏如何调整，都决定着学生是否能顺利地实现最近发展区的跨越.

下面笔者以椭圆的教学为例，从上述三个方面谈谈培育数学核心素养的想法.

一、深刻的教材分析，明确数学核心素养的培养目标

课堂中核心素养的落地，需要教师仔细研读课程标准，深刻领会学科核心素养的内涵，把握核心素养的具体目标及其之间的内在联系，在每一节数学课堂中设计出切实可行的核心素养目标.简言之，我们要将将每个数学知识所渗透、所蕴含的数学素养和学生发展核心素养梳理出来，并从关联一般素养中确定实施的具体办法.笔者以椭圆教学中的几个教材处理点展开来谈.

1.椭圆定义中“两定点”从何而来？

关于椭圆定义的呈现方式各异，或通过与圆的定义类比得到，圆是平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹的集合，如果是两个定点呢？仿佛“从魔术师的帽子里拿出一只兔子”一样，学生在面临新问题时也较难顿生类比思维；或基于旦德林双球模型的椭圆定义教学，这是教材章头图的背景.前者侧重从学生已有经验入手，通过类比、联想等形式建模，实现核心概念的引入，突出直观想象、数学建模的重要性.而后者需要学生从经典且复杂的几何模型中抽象出简单的点、线元素满足的定量关系，对数学抽象的要求较高.因而教师需要做大量的知识铺设，引导学生从复杂的立体几何图形中（或是圆柱或是圆锥背景下）发现“椭圆上动点到椭圆曲线与两球切点的距离和为定值”的特殊性质，从而抽象出椭圆的定义.

我们知道，得到数学概念尤其是核心概念的过程最典型的是数学抽象的过程.从这个意义上讲，后者的做法直接指向学科特有的研究手段及思路，对于数学素养的培养要更胜一筹.但如此借史切入，回到原始定义固然遵照了科学发展史实，但难免对学生构造探索的要求太高，因而需考量学生的学业水平.或许我们可以寻求一个“中间地带”，联系学生生活实际，观察太阳光斜射到篮球形成的影子是椭圆，一个定点是球体与投影面的交点，根据圆的对称性猜想必有另一个定点，定值的探求方法就与旦德林双球模型中定值求法一致了.因而，教师只有认真研究教材，对定义中的关键字“两定点”足够敏感，才能足够“多谋”.

2.椭圆方程中“标准”是什么意思？

椭圆的标准方程相较直线的方程而言，多了“标准”二字，不能简单认为只是表述不同而已.从“数”上讲，只有方程为焦点在x轴上）和方程为焦点在y轴上）的椭圆方程才是标准方程，通过平移变换后的曲线方程m2+n2≠0）就不能称为标准方程了.更直观地，从“形”上观察，椭圆的标准方程是建立在特殊坐标系下得到的曲线方程，即中心在原点，坐标轴为对称轴.究其方程的“标准”与“不标准”，实质上，不碍于椭圆的性质，只是为了研究的便利，体现了坐标化思想的渗透.坐标化思想是解析几何的核心思想，亦是本质，在其他知识板块中也有较多体现与运用，如数列、向量等，是沟通代数与几何的经典数学方法.但学科思想的内化不是朝夕可至的，需要至始至终的作外显化的工作，再适时渗透.教师感受得越真切，学生才愈有感触，这是共情的教育效果，这是熏陶的魅力.正如周国平所说，素质是熏陶出来的.学生学科素养的培育也要依靠师者个人的学科认同感及学科情怀.

3.椭圆的第二定义的讲解需要“另起炉灶”吗？

椭圆的第二定义指平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数的动点M的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率.是否一定要按照定义求出动点M的轨迹方程呢？更一般的做法是直接求轨迹方程，完全不考虑问题的共性特征，不遵从思维的连贯性，俨然是一个完全陌生的问题.实际上，在椭圆标准方程的推导中，化简有一步为，稍加变形，两边同时除以就已是第二定义的雏形了，这应是第二定义的引入最为自然、合适的时机.因而，椭圆的标准方程的推导就必须让全体学生亲身操作，切不可认为耽误时间而失去一个培养学生数学运算素养的大好时机.

4.椭圆的几何性质研究什么？

我们试想一下，画出一个椭圆，请学生回答应研究其什么性质？学生的回答很可能七零八落.为什么会出现这个现象呢？指导思想、方向引领很重要！学生已有的相关经验没有被调用到解决此问题上，这就需要教师的深刻的教材分析能力，适当搭设脚手架，找到其本质.二次函数的图像及性质到一般函数的性质是我们研究过的，椭圆的轨迹实际上是由两个函数“拼接”成的，共性不会少.研究二次函数的顶点就联想到椭圆的顶点，也可以说是一般函数的特殊点；研究一般函数的定义域及值域就联想到曲线的范围；研究二次函数的对称性就联想到曲线的对称性；研究二次函数的开口的大小就联想到椭圆的扁平程度.

5.椭圆的几何性质揭示了什么方法？

就数学知识而谈数学知识的教学必然是不生动的，因为没有剖析其中数学原理，没能上升到数学思想、方法层面.学生在教师的引导下，较容易研究出椭圆的顶点、范围、对称性及离心率等性质，但较难自觉归纳出解决问题的方式.顶点怎么求？顶点是曲线特殊的交点（对称轴与曲线的交点），故可通过列方程组求顶点坐标.范围求解的方式多了，学生更多的是通过“形”上的观察而知，不知道利用数（式）的非负性建立不等式，从而得到范围.实际上，就是善于把等式“沟通”成不等式，即列不等式求范围.对称性怎样论证呢？折叠椭圆小纸片不行，肉眼观察更不行！基于图形的对称问题实际上是点的对称问题的认识，任设曲线上点的坐标，通过点的对称关系论证了椭圆的对称性，真正做到了化整为零.离心率怎样定义？由形上椭圆的区别反映出不同的扁平程度，如何用具体确切的数表示出来呢？此思维过程揭示了用数形结合方法（这里是由形构造数）研究曲线扁平程度.

重知识、重能力的教学观是没错的，但不重思维的发展，培养学科素养也仅是一个口号罢了！例如，我们学习等差（或等比）数列求和公式，公式本身的运用是很重要的一个层面，但公式推导中的倒序相加（或错位相减）的方法、转化的思想（将非特殊数列转化为特殊数列的思想奠基）才是有益于数学思维能力提高的最宝贵资源.又如，式子（x+y+z）7中项x3y2z2的系数的探求，其二项式系数的推导思路就是解决此问题的良法，将推导思想不知不觉地运用于解题，才得其法.

二、巧妙的知识处理，助推数学核心素养的提升

作深刻的教材分析，教师能明确教学中的三维目标、教学重难点，乃至厘清了核心素养，那么怎么讲，如何把这些知识串起来呢？巧妙的知识处理则是传授知识、培养能力、提升思维有效方法，是培养数学核心素养的基本保障.

在课堂教学中，以问题为导向，着眼问题的视角（从问题拓展角度，从问题关联内容，从问题猜测角度，从问题提出角度），通过感受、归纳、操作等活动，形成研究思路.笔者基于“问题引导，问题解决”的教学模式设计，给出一个椭圆的几何性质（一）的案例，以期各知识的落实.

方程和函数很相似，函数常研究哪些性质呢？以二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）为例回顾一下函数常研究的内容（顶点、定义域、值域（变量的范围），对称性，奇偶性，单调性等等），从而提出下列问题：

问题1：你觉得应该从哪几个方面来研究椭圆的的简单几何性质？

学生回答了范围、对称性、顶点后，教学一步步展开.对于对称性，考虑到学生的认知发展规律，由形到数，先直观操作感受，再理性科学论证，故而提出.

问题2：观察图形，你认为椭圆有怎样的对称性？你能通过折叠和旋转的方法说明你手中椭圆纸片的对称性吗？（操作体验，学生展示）

归纳提炼得到对称性的研究方法：通过检验两个对称点坐标是否同时满足方程来判断图形的对称性.在教师的引导下，研究完椭圆的对称性后，学生已初具研究思路，剩下的顶点及范围可以交由学生完成，因而提出问题4.

教师引导学生归纳提炼出两点方法，顶点坐标的求法：将对称轴方程和椭圆方程联立求解；范围的求法：利用平方的非负性建立不等式求解.探求完椭圆的三个性质后，为及时巩固所学并自然引入下一个性质——离心率的研究，设计了一例题，如下：

例1 利用椭圆的几何性质作出椭圆的草图（学生作图，教师点评）：

从上例中我们看到，有的椭圆圆些，有的扁些，椭圆的扁平程度就是椭圆一个重要的性质了，如何刻画椭圆的扁平程度呢？提出问题5.

问题5：分别从以下两个角度思考，用a，b，c中的哪两个量的比值可以刻画椭圆的扁平程度？（1）例1的作图；（2）定义法作椭圆.

（独立思考→小组交流→代表汇报→教师补充）

两个子问题表明：可用a，b的关系或用a，c的关系刻画椭圆的扁平程度.哪一个最合适呢？引发学生展开思考，椭圆标准方程的推导是出于便利的考虑才引进字母b，因而用表示离心率才能揭示问题的本质.从而归纳得到：观察图形的变化对参数的影响找到描述椭圆扁平程度的量，即数形结合的思想.对焦点在x轴上的椭圆的性质研究完后，展示研究成果，让学生完成焦点在y轴上的椭圆的几何性质，提出问题6.

之所以把焦点在x，y轴上的椭圆的性质全部研究完，不仅仅是出于完备性的考虑，更是让学生体会到椭圆的性质是不依赖坐标系仍旧成立的，我们用坐标系是为了研究的便利，体现了坐标化思想的应用.课的最后就是学习反馈了，展示第二个例题，如下：

例2 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.

利用简单例子小结并巩固本节课所学知识内容，归纳提炼出求已知椭圆方程求长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标的步骤：（1）将椭圆方程化为标准；（2）求出参数a，b，c；（3）结合性质，写出所求.同样，也巧妙地处理好了本节课要讲授的知识内容.

三、恰当的教法选用，确保数学核心素养根扎课堂

俗话说：“教学有法，贵在得法.”教师要能随着教学内容的变化，教学对象的变化，教学设备的变化，教学节奏的变化，灵活应用教学方法.数学教学的方法很多，对于不同的课型可选用不同的教学法，常见的教学法有讲授式、发现式、探究式、讨论式、启发式、问题引导式等等.如对于综合及应用及小结或复习课，变式（或讨论）教学法就比较受青睐，以排列组合的综合应用为例.教师给出范例：将5个不同的小球放入4个不同的盒子内，共有多少种不同的放法？这是简单的乘法原理的应用.为体现加法原理和乘法原理应用上的区别，依次给出两个变式，真正做到理解排列数、组合数公式.

变式1：将5个不同的小球放入4个不同的盒子内，每个盒子至少有1个小球，共有多少种不同的放法？

变式2：将5个不同的小球放到4个不同的盒子内，每盒至少有1个小球，且甲球必须放到A盒中，共有多少种不同的放法？

而对于新授课，讲授式教学方法比较风靡，但也有其他教学方法的使用.拿椭圆的几何性质这节课来说，笔者的教学设计采用的就是“问题引导式”进行启发式教学，六个问题在教师的引导启发下逐步清晰明朗；学生动手折叠椭圆小纸片确认直观感受的过程，即数学实验教学法的体现；椭圆的顶点、范围及离心率的研究以小组形式展开，体现的是探究合作式教学原则；为生动演绎椭圆的扁平程度受离心率影响，几何画板的演示正是基于信息技术的教学方式.因而，教学方法的选用是基于深刻的教材分析、巧妙的知识处理而言的，不是胡乱搭配的.也就是说，教学方法需要选择与优化组合.中学数学不能拘泥于采用哪一种固定的教学方法，每一种成型的教学方法都有其明显的特征和局限性，只有选择最适合某节课的教学内容、最适合学生认知实际、最符合教师个性特征的教学方法，才能有效培养学生素质.只要能激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性，培养学生的思维能力，发展学生的核心素养，都是好的教学方法.

数学核心素养已是课程设计的标志性因素，数学教育改革的成败都践行在课堂，课堂教学模式、课堂教学评价的深刻变革直接决定着数学核心素养能否落地.改革是我校持续蓬勃发展的主旋律.从“五四·零”方案、素质学分制、“两把两重”到“锤炼健康身心、塑造必备品格、培养关键能力”的理念与实践，人才培养体系的建构都归结于教育教学的转型与变革，因此迄今所举办的两届教学节的主题分别确定为“关键能力与学科教学的深度融合”、“基于关键能力培养的课堂建设与实践”.学科的视角必然要明确关键的学科能力和必备的学科核心素养，学科理应为真正发展学生的核心素养作出它独有的贡献.课堂的聚焦是培育学科素养的绝好举措，也必定促进深度学习方式的推进.我们的学生对课堂是充满期盼的，因为课堂充斥着各种可能性：课堂的模式是多变的，可能是“15+25”模式（教师主讲不超过15分钟，学生自主学习活动不低于25分钟），也可能是“1+1+1”模式（自主预习+交流研讨+展示提升）；课堂形式是丰富的，学生讲题、讲课也并非是一种点缀，已然是一种学习方式，并且囿于课堂环境的限制有的课堂学习已经延伸到了课外.不能不说，课堂是一个提供学生多种发展可能性的天堂，学生的发展根基在此筑牢，发展前景自然不可估量.

立足于课堂，以学科为抓手培育学生的核心素养是一个系统性工程，为最大限度地发展“核心”的素养，我们还要注重一般素养与核心素养的关联、融合与转化.此外，我们还要认识到这项工程与单纯的“优化课堂，打造高效课堂”的区别，核心素养的培养忌空忌泛，要具实，要宏观更要微观，要抓常效机制，积极做好课堂观察与评价的机制建设，因而构建一个操作性强的数学核心素养体系对于数学核心素养的有序落实尤为重要.在数学核心素养的落地问题上，我们仍任重而道远.

1.章建跃.数学核心素养如何落实在课堂［J］.中小学数学（高中版），2016（3）.

2.殷希群.怎样才能“把方法教给学生”—对课堂教学的一些认识与思考［J］.数学通讯（教师版），2012（5）.

3.胡典顺.提升学生的数学核心素养：数学问题的视角［J］.数学通讯（教师版），2017（10）.

4.吕立杰，韩继伟，张晓娟.学科核心素养培养：课程实施的价值诉求［J］.课程.教材.教法，2017（9）.

5.吕世虎，吴振英.数学核心素养的内涵及其体系构建［J］.课程·教材·教法，2017（9）.