“角的分类”教学纪实与评析

高巍+刘圣良

教学内容：人教版小学《数学》四年级上册第三单元“角的度量”第42页例2及相关内容。

教学目标：

1.经历动态认识各种角的过程，从度量角度认识直角、锐角、钝角、平角、周角，掌握它们的度数及度数范围。

2.在分类与探索角的关系中，体会并归纳角的旋转定义，积累数学活动经验，培养空间观念。

3.在自主、合作、探究等学习中，学会与人合作、与人交流，养成良好的学习习惯。

教学重点：认识平角和周角，理解平角、周角、直角之间的关系。

教学难点：区别周角与0°角，理解锐角和钝角的度数范围。

教学过程：

一、回顾旧知，导入新课

1.复习学过的角。

师：我们都学过哪些角？

生：锐角、直角、钝角。

师：这些角就藏在我们的生活中，你能把它们找出来吗？

2.找出生活中的锐角、直角、钝角。

（出示课件：在电子白板上，学生一一拖拽出角。）

生1：我从“A”字上找到了1个锐角。

生2：钟表上的这个角是1个钝角。

生3：我从三角板上找到了1个直角、2个锐角。

师：说说你是怎样判断的。

生：比直角大的是钝角，比直角小的是锐角。

师：同学们真了不起，不仅能找出生活中的角，还能判断角的种类。

3.导入新课。

师：今天我们就来学习角的分类。

二、借助操作， 探究特征

1.动态识角，明确分类。

（1）数学活动：用活动角表示出锐角、直角、钝角。

活动要求：

①分一分：小组四个人分工，一人做直角，一人做锐角，一人做钝角，小组长负责检查。

②想一想，这些角是怎樣形成的？怎样判断一个角是直角？

③说一说：做完之后，小组同学之间互相说一说你们是怎么做的。

学生汇报：

生1：我做的是一个锐角，锐角比直角小一点儿。

生2：我做的是钝角，钝角比直角大一些。

生3：我做的是直角，我是用练习本的直角比的，正好一样大。

生4：我是用三角板上的直角进行判断的，比直角小的是锐角，比直角大的是钝角，和三角板直角完全重合的是直角，所以我们小组做的角都对了。

师：还有什么办法可以判断是不是直角呢？

生1：还可以用直尺的直角比一比。

生2：我是用量角器判断的，我量他做的角是90°，所以是直角。

师：谁跟他的方法一样？你量的直角多少度？

…………

师：所有的直角都是90°吗？请同学们量一量身边的直角。

生1：我量的数学书的直角是90°。

生2：我量的三角板的直角是90°。

师：由此我们可以得出结论：直角=90°。（板书：直角=90°。）

师：刚才我们已经验证了直角=90°，现在你能用度数定义锐角、钝角了吗？

生1：小于90°的角叫作锐角。

生2：大于90°的角叫作钝角。（板书。）

【设计意图：二年级时学生已经对直角、锐角、钝角有了直观的认识。让学生找出生活中的角并判断这角的种类，目的是帮助学生回忆以直角作为工具判断角的种类的经验。通过动手做角，让学生进一步理解三种角之间的关系，引导学生通过量的方法，验证直角=90°，得出直角的定义，再通过三种角的关系初步得出锐角和钝角的度数范围。】

2.回顾活动，归纳概念。

师：很好，同学们已经用度数来定义直角、钝角、锐角了。回想刚才的操作过程，这些角是怎样形成的？

生1：由一点引出两条射线，所组成的图形叫作角。

生2：是由一条边旋转得到的。

（师借助多媒体演示，边演示边讲述。）

师：角可以看作由一条射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。

师：如果这条射线绕着它的端点旋转30°形成的这个角是什么角？（锐角。）如果这条射线绕着它的端点旋转45°形成的这个角是什么角？（锐角。）旋转90°呢？（直角。）

师：如果这条射线接着绕它的端点旋转到这里，是什么角？（钝角。）

师：如果再旋转，是什么角？（钝角。）

师：你发现了什么？

生1：角的两边开口越大，角越大；开口越小，角越小。

生2：旋转到90°是直角，小于90°是锐角，大于90°是钝角。

3.动画演示，认识平角、周角。

（1）认识平角，完善钝角定义

多媒体动画接着演示，一条射线接着旋转（呈现平角）。

师：继续旋转到这里，是不是角呢？

生1：不是角，是一条直线。

生2：不是尖尖的，所以不是角。

生3：这是一个最大的钝角。

生4：有顶点，在中间，两条边在一条直线上，所以是角。

师：这位同学的观点你们同意吗？

生：同意，因为这符合角的定义。

师：一条射线绕着它的端点旋转半周，所形成的图形的确是一个角。知道它的名字吗？

生：平角。

师：平角的顶点在哪里？

生：中间的点。

师：平角多少度呢？（指名学生用量角器到前面量一量。）

生：我量出这个角的度数是180°。

师：180°的角是平角。（板书：平角=180°。）我们再回头看看对钝角的定义，大于90°的角叫钝角，180°大于90°，那它是不是也符合钝角的定义呢？endprint

师：谁能补充一下钝角的定义呢？

生：大于90°小于180°的角叫作钝角。

师：嗯，这样概括就比较严密了。（板书：大于90°小于180°的角叫作钝角。）

（2）认识周角，完善锐角定义

多媒体出示：一条射线绕着它的端点旋转了一周。

师：这还是一个角吗？

生1：不是，只有一条边。

生2：是角，两条边重合了。

师：你同意谁的看法？

生：同意生2的看法。

师：这个图形同样是一个角，叫周角。你知道周角多少度吗？

生：360°。

师：你是怎样知道的？

生：它正好等于两个平角。180°加180°等于360°。

师：1周角=360°。（板书：1周角=360°。）

师：平角和周角是两种特殊的角，一个周角等于两个平角。到底怎样判断是一条边，还是两条边旋转后重合了呢？

课件演示：一条射线围绕端点旋转了0度（实际上没旋转）这个角就是0°角。一条射线围绕端点旋转了360°（实际上旋转了一周）（终边和始边重合）这个角是周角，在这里画一个弧线表示一个角。

师：0°角是不是锐角呢？

生1：小于90°的角是锐角，所以0°角是锐角。

生2：锐角一定比0°角大。

师：0°的角实际上是一个初始状态，还没有形成真正意义上的角。所以，锐角就要比它大。

师：现在你能说说什么样的角是锐角吗？

生：大于0°，小于90°的角叫锐角。

师：只要在这个范围之间的角都是锐角。（板书：大于0°，小于90°的角叫锐角。）

师：锐角和钝角的概念给的都是一个范围，而不是唯一的度数。

【设计意图：在学生得出直角的定义之后，利用课件演示，帮助学生理解动态角的定义，再通过旋转角认识平角和周角，抓住学生的认知冲突，引导学生完善锐角和钝角度数定义范围，实现角的认识从直观到抽象的过渡。】

4.探索关系，明晰特征。

师：到现在为止，我们一共学习了哪几种角？

生：锐角，直角，钝角，平角，周角。

师：根据它们的度数特点，你能表示出它们之间的关系吗？请同学们先独立思考，完成学习单，然后再小组讨论。

生1：锐角<直角<钝角<平角<周角。

生2：周角>平角>钝角>直角>锐角。

生3：因为平角等于180°，直角等于90°，两个90°等于180°，所以1平角=2直角。

生4：周角等于360°，里面有两个180°，有4个90°，所以，1周角=2平角=4直角。

师：同学们说得非常好，利用度数关系找到了平角、周角、直角之间的关系。实际上我们还可以回顾旋转的过程，平角可以分成两个直角，周角可以分成4个直角，两个平角。（利用课件动态呈现各种角，并且呈现平角、周角分割成直角的动态图。）

【设计意图：学生在前面的活动中，已经对几种角有了理性的认识，对于它们之间的关系又有一定的认识，所以，此环节放手让学生自主探究各种角的关系，培养学生的自主探究和合作交流的能力。】

三、巩固练习，提升能力

1.判断下列各种说法对不对，并说明理由。

（1）平角就是一条直线。（ ）

（2）比钝角小的角一定是锐角。（ ）

（3）大于90°的角一定是钝角。（ ）

（4）两个锐角的和一定比直角大。（ ）

2.图中有几个锐角？几个直角？几个钝角？

3.下面两个图中的∠1与∠2是不是相等？说明理由。

四、交流收获，总结全课

师：通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑？

生1：我知道了角可以分成锐角、直角、钝角、平角、周角5类，而且知道它们的大小。

生2：我知道了0°角和周角不一样，一个旋转了一周，一个没旋转。

生3：我还知道了5种角之间的关系。

生4：我有個问题，大于180°小于360°的是什么角呢？

师引导拓展：（课件出示）旋转角，大于180°而小于360°的角叫优角。

师：小于180°（即小于平角的角）大于0°的角叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。关于角的知识在中学阶段还将继续深入学习，希望同学们能够灵活扎实掌握本节课的知识，为今后攀登数学知识的高峰奠定良好的基础。

反思：

“角的分类”是在学生初步认识角，会使用量角器量角的基础上教学的。本节课的课题虽为“角的分类”，而实质是通过“分”，引导学生经历动态认识各种角的形成过程，掌握它们的度数及度数范围，最后探究出它们之间的关系。这部分知识比较抽象，对于四年级学生来说不容易理解。所以在教学时，我以学生的动手操作为主，充分发挥信息技术的优势，营造生动活泼的学习氛围，调动学生的多种感官，让学生亲身经历数学概念形成的过程。培养学生的抽象概括能力和空间观念。

一、借助操作过程，理解角的概念

为了帮助学生回顾已经初步认知的直角、锐角和钝角的知识，我设置了让学生从生活中熟悉的物体上找角，在电子白板上操作将各类角拖拽出来的数学活动。通过这样的交互式操作活动，学生不仅兴趣盎然地找到生活中的角，还能说出判断的方法，为后面以直角度数为突破口定义锐角和钝角做准备。

在探究各类角的特征过程中，我创设了动手操作活动，用活动角做出锐角、直角、钝角，在交流反馈环节，聚焦直角，引导学生量一量身边的直角的度数，最后得出结论：直角的度数是90°。通过这样的做角、量角的操作活动，使学生进一步认识直角，学生根据已有的认知经验，初步概括出钝角和锐角的度数范围。这一过程中，学生从直观认识角过渡到利用度数来定义角，学生实现了从直观认知上升到数学抽象层面的一次飞跃。然后引导学生回顾操作过程，归纳动态角的定义，学生有了活动的经验，理解这一概念较容易，空间观念也得到较好的培养。endprint

二、发挥信息技术优势，突破教学重难点

平角和周角的认识是本节课的教学重点。我运用Flash动态演示平角和周角的形成过程，并及时进行追问。当一条射线旋转到和另一射线在一条直线上时，我问学生是不是角？这时学生的意见出现分歧，这跟学生以往认识的角的确不同。这时，我运用课件的强调作用：平角的顶点被放大变成红色，两条射线分别延长，学生一下子就看出它完全符合角的特征，学生恍然大悟，它的确是角，是平角。周角的认知也是采用了同样的方法动态演示，学生理解起来容易多了。辨析0°角和周角是本节课的难点，我运用Flash的动态效果，使学生看到：0°角的射线根本没有旋转，周角的射线正好旋转了一周，和原来的那条射线正好重合。虽然，它们看起来都像是一条射线，但是，它们所表示的意义是不同的。多媒体课件动态的演示，为学生提供了直观清晰的动态画面，便于学生理解数学抽象的概念，同时，也使枯燥的数学更加生动、有趣，调动了学生学习的积极性。

评析：

本节课中，高老师能够从学生已有的经验和认知入手，充分利用直观教具和信息技术手段，创设有效的数学活动，让学生在动手操作和直观演示中，丰富角的旋转意义，建立各种角的表象。通过对话、交流，归纳角的旋转定义以及梳理各种角的概念，实现对角的概念从直观感性认识到理性的过渡，较好地落实了数学核心素养。

一、抓住概念本质特征，形成课堂教学主线

角的概念有两个，其一是从一点引出两条射线所组成的图形，其二是由一条射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。前者是本单元“角的认识”中重点内容，这一概念对静态角的描述很直观，学生便于理解。后者是本节课教学的重点，为深刻认识平角和周角，须要借助旋转角的定义，这一概念是对动态角的定义，学生理解起来较困难。把两个定义联系起来，并且让学生对锐角、直角、钝角、平角、周角有一个动态的认识，形成角的概念的统一很重要。回顾本节课的教学过程。整节课按照“复习旧知、激活经验—操作学具、认识概念—直观演示，认识新角—探究关系，内化概念”这样的教学主线进行。在整个过程中，教师抓住了角的旋转意义这一核心概念。从复习锐角、钝角、直角到利用活动角学具进行操作，再到回顾操作、归纳角的定义。在这个过程中，学生通过操作学具积累了旋转形成角的经验，在交流中丰富了钝角、锐角、直角的理性认识，然后，教师顺势在经验与理性认知的基础上归纳角的定义，实现了从静态角到动态角概念的过渡。然后，教师借助信息技术动态呈现平角和周角，并通过旋转角的定义认识这两种角，较好地突破了教学难点。最后，放手让学生探究几种角的关系。整个教学过程，角的旋转这一概念始终作为核心，从概念的建立到应用概念认识新角、探究各种关系，形成了一条围绕旋转角概念的清晰主线，为我们提供了概念教学的基本模式。

二、经历概念构建过程，落实数学核心素养

随着《中国学生发展核心素养》总体框架的颁布，数学核心素养越发引起教育界重视。本节课的数学核心素养重点是“培养学生空间观念”，回顾本节课教学过程，教师是如何在角的概念教学中培养学生的空间观念的呢？ 首先，教师充分利用操作学具和课件演示等直观手段，帮助学生建立角的直观表象。在角的概念教学环节，教师设计学生操作活动，在制作角的过程中体验角的形成，直观感悟锐角、直角、钝角的大小关系。在匯报交流环节，通过课件演示，动态呈现射线绕着端点旋转的过程，让学生清晰地看到角的形成过程。这些环节的设计，为学生归纳和理解角的旋转概念提供了丰富的感性认识，也充分帮助学生建立角的旋转表象，为数学抽象认识角做好了铺垫。其次，在探索各种角的度数定义和关系中，培养空间观念。如，在探究周角和0°角的区别环节，当学生出现争议时，教师演示课件并引导：一条射线围绕端点旋转了0°，实际上没旋转。一条射线围绕端点旋转了360°，实际上旋转了一周。虽然最终的图形一样，但是一个表示转，一个表示没转。通过直观演示加深了学生对周角的认识，同时也帮助学生建立周角的空间观念。再如，在教学几种角之间的关系时，教师随着学生的汇报，直观呈现旋转图形，并且在探究直角、平角、周角的倍数关系时，不仅引导学生从数量上来分析360°和180°、90°之间的关系，而且还呈现平角和周角的等分图，让学生直观看出它们的倍数关系，帮助学生建立几种角的空间观念。在这节课中，我们能够感受到几何概念需要直观做支撑，也需要数量的精确界定，借助直观演示、数量关系分析来理解概念以及概念之间的关系，不仅能够让学生深刻经历概念的建构过程，也会帮助学生形成几何直观、空间想象的能力。

当然，教学是遗憾的艺术。本节课中也存在一些问题。如，教学方式不够灵活，教师放手力度不够，学生的主体地位不明显，生生之间的互动较少，师生一对一问答较多，这种单一的教学方式制约着学生的思维，制约着学生数学核心素养的发展。

编辑/魏继军endprint