概念是怎样生成的*——以函数概念教学为例

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(东台市教育局教研室，江苏 东台 224200)

1 教学背景

“十三五”期间，江苏省盐城市将“让学引思”确定为全市课堂教学改革的主题．该项课改的核心要义在于推动构建生本课堂，通过教师对学生必要的、恰当的“让学”，引导、引发、引领学生进行充分、深入的思考，从而调动学生自身内在的积极因素，发挥其学习的主观能动性．如何在概念教学中实施“让学引思”？笔者以苏科版《数学》八年级上册第6.1节“函数”为课题，在一次市级教研活动中做了一点有益的尝试，现整理成文，希望能引起大家对概念教学的思考．

2 学情分析

由常量到变量，是数学思维上的一次重大飞跃．函数的学习研究实现了从常量到变量的巨大转变，函数概念的学习对学生的思维发展和能力提升具有十分重要的意义．在此之前，学生已经在七年级学习过代数式和一元一次方程，对字母表示数以及数字代入代数式求值有较好的基础．同时，学生已经初步感知生活中存在的很多变化着的量，尤其是对一个变量的变化引起另一个变量的变化有一定的生活经历．因此，八年级上学期学生对变量方面的内容具有一定的感性认识，在实际生活中积累了一些有关常量和变量的知识，有尝试探究两个变量之间关系的兴趣和要求．

基于上述分析，笔者确定了如下教学目标：

1)通过一些具体实例，让学生感受数量的变化过程以及在变化过程中变量之间的对应关系，探究其中的变化规律及基本性质，尝试根据变量之间的对应关系作出预测，获得对函数概念的感性认识；

2)通过一些不同背景的实例，在感性认识的基础上，归纳概括出函数的定义，深层次理解函数概念；

3)建立数学模型，用函数思想分析实际问题，使得学生能够在操作层面认识和理解函数．

3 教学实录

3.1 课前活动

上课前，教师给每组学生(同桌两人为一组)发一个弹簧秤和一组砝码，让学生分组“玩”弹簧秤，“在玩中学，在学中玩”，充分调动学生学习的兴趣，通过动手“做”数学，使其在实验操作的过程中感悟数学问题的存在．

3.2 情境创设

师：同学们，我们生活在一个充满变化的世界中，在这些变化过程中，有些数量保持不变，有些发生了改变，从这一节课开始，我们来研究这些变化的量以及它们之间的关系．下面让我们一起来看看这样一个长方形.

教师用几何画板演示，在运动过程中随机停止3次，如图1～3所示．

图1 图2 图3

师：在这个变化过程中，哪些量在变化？

生1：AB的长和长方形的面积在变化．

师(追问)：在运动过程中，哪些量一直保持不变？

生1：AB+AD的值不变．

生2：就是长方形的周长不变．

师：说得很好！

教师多媒体展示：在某一变化过程中：数值保持不变的量叫做______，可以取不同数值的量叫做______．

生(齐)：常量、变量．

点评运用几何画板制作的长方形，在动画演示下，让学生感受到如果长方形的周长不变，当长方形的长发生变化时，长方形的面积也随之发生变化，从而激发学生学习的兴趣，引发学生的深入思考．教师选择这个情境，目的是让学生感受在运动过程中哪些量在变化，哪些量一直保持不变，为引出常量与变量这两个概念作铺垫．

3.3 新知探究

3.3.1 函数概念的引入

活动1长方形的周长不变，探究其长与面积之间的关系.

师：针对情境1中的问题，我们一起来做一个游戏好不好？

生(齐)：好．

师：老师想请一位同学上台掌控鼠标，控制长方形的运动，哪位同学愿意？

学生纷纷举手，教师指定一名学生上台.

师：同学们，游戏的规则是：先让长方形处于运动过程中，大家说“停”，台上同学就按一下鼠标，使运动着的长方形立即停下来.如果老师接着下令“开始”，台上同学就再次点击鼠标，使静止着的长方形再次运动起来，如此往复……，请大家注意观察和感悟其中的变化．准备好了吗？

生(齐)：准备好了！

师：开始．

生(齐)：停！

在学生活动的同时，教师在黑板上记录随机实验得到的结果，连续3次，数据记录如下(记长方形ABCD的面积为S)：

当AB=2.12时，S=12.45；

当AB=3.55时，S=15.76；

当AB=4.66时，S=15.52；

……

师：当AB的长为2.55时，你能确定长方形的面积吗？

生(齐)：能．

师(期待)：怎么确定？

生5：等到AB=2.55时按下鼠标，长方形的面积随之得到．

生6：把AB=2.55代入进行计算即可．

师：由此可见，当长方形的长确定后，长方形的面积也随之而确定．除此之外，你还有什么体会呢？请你总结成一句话，说给你的同桌听听．

生7(代表)：长方形的面积随着长方形长的变化而变化．

点评教师以游戏互动的方式请学生走上讲台，动手按动鼠标，在师生互动、生生互动的愉快气氛中，感悟长方形的长与其面积之间相互“牵制”的关系，使其初步感受函数的内涵．

活动2在弹簧秤的称重范围内，探究弹簧秤的拉力与砝码个数之间的关系.

师：请大家拿出课前老师发给大家的弹簧秤和砝码进行称重实验，同桌之间互相配合，一人负责称重，另一人负责记录．

由于课前已有铺垫，学生能熟练地用弹簧秤进行称重，教师巡视，适当指导操作有困难的学生.

师：在你们记录的数据中，反映了哪两个变量之间的关系？

生8：反映了弹簧拉力和砝码个数之间的变化关系．

师：分析表中的数据，你能获得哪些信息？

生9：弹簧拉力随着砝码个数的变化而变化，随着砝码个数的确定而确定．

实物投影出其中一组两位学生的实验结果，如表1所示:

表1 数学实验报告单

师：生9的回答与这两位同学的结果一致，回答得真好！有了这两次活动的经验，谁能小结一下两个相关变量之间的关系？

生10：在两个相关联的变量中，一个变量随着另一个变量的变化而变化，一个变量随着另一个变量的确定而确定．

师(板书课题)：这就是我们今天要学习的函数．

点评在课前，教师就已经组织学生“玩”过弹簧秤，进行了“热身”，为课上的活动埋下了伏笔．在真实的环境中进行数学实验，可以帮助学生检测、验证已得结论或猜想的正确性，从而在实物直观的基础上获得对函数本质的理解与认识[1]．

活动3用火柴棒搭小鱼.

师：请同学们拿出课前准备好的火柴棒，两人一组，互相配合，用火柴棒搭1条小鱼、2条小鱼、3条小鱼……边活动，边思考：搭n条小鱼所需的火柴根数S与小鱼条数n之间的关系为：______．

生13：S=6n+2．

师：在这一变化过程中，有几个变量，它们之间有怎样的关系？

生14：有两个变量，搭小鱼所需火柴根数S随着小鱼条数n的变化而变化．

生15：当小鱼的条数n确定时，所需火柴棒的根数S也确定下来．

师(期待)：也就是说，对于n的每一个值，S都有______的值与之对应．

生(齐)：唯一．

师：同学们今天表现真好！下面让我们再回到我们所熟悉的气温变化图上来．

活动4认识气温变化图.

图4

师：这是某地一天内的气温变化图(如图4所示)，请同学们思考：这幅图反映的是哪两个变量之间的关系？

生11：反映的是一天内时间与气温之间的关系．

师：通过观察，你能说出3时的温度是多少吗？6时的温度又是多少？……

生12：3时是-3 ℃ ，6时是-1 ℃ ……

师(追问)：此时的温度唯一确定了吗？

生(齐)：唯一确定了．教师鼠标拖动至某一时间点，请学生回答“唯一确定”的温度，体会唯一确定的温度与时间之间的对应关系．

点评以学生熟悉的气温变化图为载体，让学生识图、读图，动口说出不同时刻的气温，感受时间变了，气温也随之而改变，并且在此过程中体会某一时刻有唯一的温度与之对应，进一步加深对函数内涵的认识．

师(PPT展示)：同学们，我们先后进行了4个活动：1)长方形周长不变，探究其长与面积之间存在的关系；2)在弹簧秤的称重范围内，探究弹簧秤的拉力与砝码个数之间的关系；3)用火柴棒搭小鱼；4)认识气温变化图．这几个问题有什么共同之处吗？请大家在小组内展开讨论．

点评以认识气温变化图和用火柴棒搭小鱼这两个问题让学生体会两个变量之间的关系，并进一步理解它们之间“唯一确定”的属性，在学生认知规律的基础上，问题层层深入，逐步“逼近”函数的内涵，是一种自然的生成．

3.3.2 构建概念

师：请哪位同学来总结一下？

生16：在每个变化的过程中都存在着两个变量，对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一的值与它对应．

师：很好！大家再来说一遍！

(学生一边齐说，教师一边板书.)

师：同学们，上述4个活动实际上只讲了一个“故事”．你能对照函数的概念把活动1中长方形的长与面积之间的关系说出来吗？

生17：在一个变化过程中的两个变量：长方形的长和面积，对于长方形长的每一个值，长方形的面积都有唯一的值与它对应，我们就称长方形的面积是它的长的函数．其中，长方形的长是自变量．

生18：在一个变化过程中的两个变量：砝码的个数与弹簧秤的拉力，对于砝码的每一次不同的个数，弹簧秤的拉力都有唯一的值与之对应，那么我们就称弹簧秤的拉力是砝码个数的函数．其中，砝码的个数是自变量．

……

点评通过上述4个活动引导学生主动地进行观察、操作、交流，使学生在对实际问题的探究中进一步获得对函数概念的感性认识，并在此基础上归纳出函数的定义．让学生动口表述，使学生在活动过程中不断积累经验，感悟两个变量之间的依存关系．

3.3.3 应用举例

师：你能举出我们生活中反映这种关系的例子吗？

问题抛出后，学生立即投入积极的思索和讨论中.

生19：我家的水费与水表上记录的用水量．

生20：汽车加油时，加油的升数与加油的费用．

生21：一个圆的半径与这个圆的面积．

……

点评在学生对函数概念已经逐步生成的基础上，请学生结合生活中的问题进行举例，是一种原生态的再生成，学生必须在理解函数概念的基础上才能运用，也是教学效果的一种检测．更为重要的是，通过举例，使学生逐步形成建模意识，领悟其中的数学思想方法．

3.3.4 精彩小结

师：如果你回去跟你爸妈说，今天来了一位新老师，给我们上了一节数学课．然后你爸就问了，老师讲的是什么内容，能不能讲给我听听？你怎么回答？

师(稍作停顿)：如果爸妈水平不太高，要你用通俗易懂的一句话就让他听懂，你怎么说？

师：假如老师就是你爸，你对着“爸爸”说说看！

全班哄堂大笑.

生22(羞涩)：爸，今天我们学习了函数，即如果在一个变化的过程中有两个变量x和y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数．其中，x是自变量．

师：女儿，你这样说爸爸没听懂，谁来一个“通俗版”的？

生23(吞吞吐吐)：爸爸，我今天学习了函数，举个例子，比如爸爸你今天去卖玉米，如果单价是每公斤2.5元，卖的数量越多，所得的钱就越多，这时所卖玉米的收入与玉米的数量之间就是一个函数关系．

师：为什么是函数关系呢？

生23：因为任意给定一个玉米的数量，就有唯一的收入与它对应．

师(点点头,幽默回应)：嗯，乖女儿，玉米我卖过，这回老爸听懂了！下课！

点评常见的课堂结尾通常以“通过本节课的学习，你有什么收获？”“你还有哪些疑惑？”等等来进行小结．特别地，本节课教师并没有采用常见的收尾方式，而是精心创设了一个对话情景，以小品的形式结束本节课的学习，耐人寻味！虽然还是同样地小结本节课学习的内容，但由于其形式新颖，显得其内容更为丰富，函数概念也在艺术处理的过程中得到升华．

4 总评

本节课是初中“函数”概念教学的一节新授课，教师精心创设了问题情境，通过丰富的生活实例和有效的数学问题，引导学生经历从具体到抽象、从感性到理性的认知过程，准确揭示和诠释了函数概念的外延和内涵．在此基础上，通过组织系列的探究活动，让学生结合鲜活的实例感悟“函数”模型的思想，积累了数学活动经验，加深了对“函数”概念本质的理解．由于教师的精心设计和组织，整节课较好地体现了“让学引思”的教学理念．

4.1 让“悟”于生，结合具体的生活情景感知函数概念的真实存在

常言道：教之道在于“度”，学之道在于“悟”．本课例中，生成函数概念的导学是在课前活动“玩”弹簧秤的过程中展开的，学生经历了动手称重的过程，明白了弹簧秤的读数与砝码个数存在因果关系．通过直观的气温变化图逐步加深气温随着时间的变化而变化的理解，也是对函数本质理解的提升，以生活中常见的事例进行分析能帮助学生化抽象为具体．在归纳出函数概念之后，请大家举出我们生活中具有函数关系的例子，学生都争先恐后结合自己的生活体验，运用函数思想，寻找函数模型，如：水表上记录的用水量与水费(用水单价确定)、行走速度与行走时间(学校到家路程确定)、购买笔芯的数量与费用(笔芯价格确定)……学生为什么能列举出这么多生活中蕴含函数的例子呢？其根本原因就是他们理解了函数的本质就是找两个变量之间的因果关系，在生成函数概念的基础上他们能联系自己的生活，结合自己的经验，使函数与生活发生碰撞，真实体悟到“函数离不开生活，生活中处处有函数”．

4.2 让“做”于生，通过活动引领学生认识函数概念的本质内涵

实践表明，在真实的环境中进行数学实验，可以帮助学生检测、验证已得结论或猜想的正确性，从而在实物直观的基础上获得对数学知识的理解[2]．本课例有一大特点，就是学生活动的次数较多，尤其是让学生在动手实践的过程中通过自主探索、合作交流获得感悟．在课前，教师就已经组织学生“玩”过弹簧秤，进行过“热身”，为课堂上的活动埋下了伏笔；导入时，教师以游戏互动的方式让学生走上讲台，动手按动鼠标，在师生互动、生生互动的愉快气氛中，感悟长方形的长与其面积之间相互“牵制”的关系；在活动过程中，以小组合作学习的方式，记录下弹簧秤称重实验的结果，以实事求是的科学态度获得数据，总结规律，感悟变化；在构建函数概念时，又让学生动手用火柴棒搭小鱼，引导学生主动进行观察、操作、交流，使学生进一步获得感性认识，并在此基础上归纳概括出函数的概念，让学生在“做”的过程中不断积累活动经验，感悟两个变量之间的依存关系．

“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，大诗人陆游的诗句是有很深刻的道理的．通过小组活动，使学生经历“做”数学的过程，让其亲身体验，领悟自然深刻．

4.3 让“讲”于生，鼓励学生在动口表述的基础上不断提升认知水平

教学的最高境界不仅是教书，更是育人，这是裴光亚先生在《数学教师的专业发展》中阐述的观点．有感于此，在构建函数概念时，教师放手让学生用语言归纳几个活动，以“故事”的形式“串烧”两个变量之间的关系，在学生表述的过程中不断修正、引思，向函数的定义不断靠拢，逐步形成函数的概念，使函数概念的生成水到渠成．在生成函数概念之后，请学生结合自己的生活经验，列举出生活中反映函数关系的实例，从现实生活的具体情境中抽象出函数模型，在学生动口表述的过程中进一步巩固函数概念，并用自己的语言进行组织，有效提高了学生的数学应用意识和思考及表达能力．

在本节课的结尾部分，教师要求学生用通俗易懂的一句话把本节课所学内容进行概括，看似对学生提出了过高的要求，其实不然.试想一下:当学生把具体的数学知识“忘记”后,还会剩下什么？教师正是想通过这样的方式来了解学生对函数的理解程度，应该是更高层次上的一种艺术性的概括，是一次升华！

5 结束语

数学概念是构建数学体系的逻辑基础，也是体现学生数学核心素养的重要方面[2]．正如李邦河院士所说：“数学根本上是玩概念的．”只有注重过程的学习才是厚重的，学生学习数学概念，不仅要学习数学概念这个结果，更要在过程中体验、感悟概念的本质内涵，形成概念的基本模型，在过程中优化和发展思维能力．新的数学概念的引出过程，是揭发概念发生的过程，也是概念在学生头脑中生成的过程.各个数学概念的发生和形成过程不尽相同，有的是从生产生活中的实际问题抽象出来的，有些是由数学自身的发展而产生的，教学过程中教师应根据各个概念的产生情况，结合学生的具体学情进行科学设计，让学科素养伴随着概念的生成而共同生长！

[1] 沈中宇,杨琼．RME视角下“函数概念”教学[J]．中学教研(数学)，2017(1)：1-6．

[2] 罗增儒．数学素养与课堂研修[J]．中学数学教学参考，2017(8)：8-10．