几何画板是数学发现的望远镜*——对观摩研讨课一道例题的课后探索

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(明港中学，浙江 宁波 315806)

最近，笔者参加了一次同课异构的观摩研讨课活动，两位教师都重点讲了同一道课本例题：

例1已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证:圆心到一边的距离等于这边所对边长的一半.

图1

两位教师教态自然，着眼于培养学生的数学核心素养，对比讲解笛卡尔的解析法和欧几里得的几何法，启发学生积极回答和变式练习.例1的教学片段是这两节同课异构的预设难点和实际亮点，赢得了听课教师的赞赏.

课后，我们对照两位教师的教案，运用几何画板动态演示例1的示意图，首先发现一个有关平行四边形的新猜想：

猜想1在图1的基础上，取BC的中点F(如图2所示)，则顺次连接点O,F,H,E构成平行四边形.

图2 图3

复验以图2中直线CA,DB分别为x轴、y轴，建立如图3所示的直角坐标系xHy.设点A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d)，则

从而

同理可得|OE|=|FH|.

要验证顺次连接点O,F,H,E构成平行四边形，|OF|=|EH|且|OE|=|FH|是必要条件，还要考虑点O,F,H,E不共线的特殊情形和点O,H不重合的退化情形.

图4 图5

实际上，在已有的条件下，当|HA|=|HD|≠|HB|时，点O,F,H,E共线(如图4所示)；当|HA|=|HB|=|HC|=|HD|时，点O与点H重合(如图5所示).总之，猜想1不正确.

猜想1虽然有差错，但复验过程所蕴含的正确因素是极其宝贵的，从中能够去伪存真地得到:

图6

定理1如图6，⊙O的内接四边形ABCD的两条对角线互相垂直，垂足H不重合于圆心O.

1)取边AD的中点E，取边BC的中点F，则当HA≠HD时，四边形OFHE是平行四边形；

2)取边AB的中点M，取边CD的中点N，则当HA≠HB时,四边形ONHM是平行四边形.

圆经过压缩变换就变成了椭圆，其中的两条直线平行保持不变性，多点共线保持不变性，线段中点保持不变性，于是就容易顿悟到：

演示1运用几何画板可检验度量：

|OE|=|FH|, |OF|=|EH|,

|OM|=|NH|, |ON|=|MH|.

如图7所示，符合结论.

图7

演示2运用几何画板，依次选点O,E通过变换窗口标记向量，再把点F通过变换窗口按标记向量平移，恰好重合于点H；依次选点O,M通过变换窗口标记向量，再把点N通过变换窗口按标记向量平移，恰好重合于点H.

证明依题意，设A(acosα,bsinα),B(acosβ,bsinβ),则H(acosβ,bsinα),C(-acosα,bsinα),D(acosβ,-bsinβ),可得

同理可证

kEH=kOF.

综上所述，当AD与BC不平行时，四边形OFHE是平行四边形；同理可证，当AB与CD不平行时，四边形ONHM是平行四边形.

补充说明1)在定理2的先决条件下，当AD∥BC时，点O,F,H,E共线；当AB∥CD时，点O,N,H,M共线.

2)经过几何画板的操作试验，假如将定理2中“两条弦AC,BD分别垂直于y轴、x轴”推广替换为“两条弦AC,BD互相垂直”，如图8所示，则相应结论错误.

图8 图9

3)经过几何画板的操作试验，假如将定理2中“两条弦AC,BD分别垂直于y轴、x轴，垂足H在椭圆内”类比替换为“两条弦AC,BD所在直线分别垂直于y轴、x轴，垂足H在椭圆外”，如图9所示，则相应结论仍然正确.

4)回眸定理1中的圆，可作类似于上述3)的几何画板操作试验(可用标记向量进行平移的快捷途径)，也可得到相应正确结论(示意图略).

把定理3中的椭圆类比到双曲线中去思考，经过几何画板演示(如图10和图11)后，可得到一个类比结论：

图10 图11

从而

xE+xF=xH，

(1)

和yE+yF=yH.

(2)

事实上,

同理可得

yE+yF=yH.

于是，式(1)和式(2)成立，因此

提炼上述4个定理的共性，可以高度抽象出一个更加统一的大团圆结论：

定理5如果有心二次曲线Ω(圆或椭圆或双曲线)的两条弦AC,BD所在的直线分别垂直于该曲线Ω的两条互相垂直的对称轴，直线AC与直线BD的垂足H不在该曲线Ω上，取弦AD,BC,AB,CD的中点依次为E,F,M,N，那么有向量等式

补充说明在定理5中，假如直线AC与直线BD的垂足H在该曲线Ω上(前面的条件都不变)，那么弦AC和弦BD必然各有一个端点都重合于垂足H，不妨设点C和点B都重合于点H，那么“极限化的中点”F也重合于垂足H，而中点E重合于曲线Ω的中心，于是借用零向量也可以使该定理结论的4个向量等式仍然成立.

上面层层递进的一串探索流程，既有对教材内涵的挖掘，又有对教法学法的指导，可以选作几何画板辅助探究性学习的课题设计.

笔者余兴未尽，最后谈两点启示：

启示1例1选自课本例题，平时我们对这道题熟视无睹，似乎没有挖掘价值，其实不然.如果我们平时能像展示课的例题教学那样对待课本的许多例习题，充分激活个体的创新潜质，充分营造群体的合作氛围，把外界激励自觉转化为内心驱动，进行匠心探索和细心品味，那么就可以发现许多数学新奥秘.

启示2在把一道例题逐步抽象升华为5个定理的探索过程中，几何画板的动态演示起到了不证先知的作用.美国数学史家克莱因说过：“数学的最大进步是由具有杰出的直觉能力的人所推动的，而不是由具有构造严格证明能力的人所推动的”.现在看来，几何画板可以促使我们的数学直觉能力显性化、快捷化，是我们一目了然地发现数学新奥秘的望远镜.

[1] 陈咸存.用几何画板探究、猜想与验证[J].数学通报，2016(4)：26-28.

[2] 甘大旺.运用几何画板画圆锥曲线的三种方法[J].中学数学，2007(8)：23-26.