“以静制动，动静结合”解决初中数学动点型几何问题

张春华

摘 要：初中数学动点几何一直是考查的难点、热点，对学生的综合能力要求很高。那么，教师如何引导学生解决动态几何问题呢，教会学生“以静制动，动静结合”是解决此类问题的关键所在。

关键词：动态几何；动静结合；转化思想

学习是一个不断勇于尝试和发现错误的过程，错误是不可避免的。动点型几何问题，其实就是以几何图形为背景，点线面为载体的数学函数问题。我们要学会以静制动，动静结合，以不变应万变来解决此类问题。

一、动点型几何问题教学中存在的问题

在初中数学的具体教学中，我们发现学生存在以下问题并对其进行了分析研究。这种综合题目是最令学生头疼的题目，也是我们教学中的重点难点。

笔者认为要想解决动点几何问题，需要将此类问题简单化，将动态转化为静态。比如说有个动态几何图很复杂，我们可以将几何图分割成许多小部分来看。这样我们就可以将其简单化、静态化。我们必须要学会转化。

下面我们来看一道例题：在三角形ABC中，角ABC等于90°，AB等于4，BC等于3，O是边AC上的一个点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP垂直于ED，交AB于点P，交边CB的延长线于点F。当BF=1时，求线段AP的长。

对于这个问题，我们会发现有两种情况，这时我们要分开解答，我们要学会转化，我们可以分开画图。这样就可以将其简单化、静态化。

情况1，半圆O的半径R较小时，EP交AB于点P，P在AB之间；交CB延长线于点F，F在B的左侧：半圆O与边AB相切于点D，∠ADO=90°，∠ODE=∠OED，（因为DO=EO=R），∠ODE+∠EDP=∠OED+∠CEF=90°，所以∠EDP=∠CEF，直角△PBF∽△PED，（AAA），所以∠BFP=∠EDP，故∠BFP=∠CEF，因此CF=CE，CE=CF=CB+BF=3+1=4，作EG垂直BC，交BC于G，直角△EGC∽△ABC，（AAA），EG∶AB=EC∶AC，EG=4× = ，同理，CG= ，FG=FB+BG=FB+BC-CG=1+3- = ，直角△PBF∽△EGF，（AAA），PB∶EG=FB∶FG，PB=（ ）/（ ）=2，AP=AB-PB=4-2=2；

情况2，半圆O的半径R较大时，EP交AB延长线于点P，P在B下方；交BC于点F，F在BC之间：与情况1类似过程，可以得CF=CE，CE=CF=BC-BF=3-1=2，EG= ，CG= ，FG=FC-CG=2- = ，PB∶EG=FB∶FG，PB=（ ）/（ ）=2，AP=AB+PB=4+2=6；

做动态几何问题笔者认为需要注意以下几点：

1.掌握运动变化的趋势；

2.找出运动初始时的几何关系和将要求出的几何量；

3.动静结合，以静制动，以不变应万变（这点很重要，上面笔者已经介绍很详细了）；

4.找一下几何关系，代数关系（运用一些定理以及一些特殊几何图形的几何量）讨论是否分类，是否有临界点，根据这些可以列出相应的方程。

下面我们再看一道例题。

例：有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，当C、Q两点重合时开始，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2。解答下列问题：

（1）当t=3秒时，求S的值；

（2）当t=5秒时，求S的值；

（3）当5秒≤t≤8秒时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值。

分析：当等腰△PQR从C、Q两点重合开始，以1cm/秒的速度沿直线l向左匀速运动时，正方形ABCD与等腰△PQR重合部分图形的形状在改变，因此，我们需要根据运动过程中的特殊位置分类讨论解决。运动过程中有四个特殊位置点，它们分别是点B、C、R和等腰△PQR底邊的中点E，这四个特殊位置点就是分类讨论问题的“分界点”。

二、如何克服困难，成功教学

1.教师方面，我觉得老师可以从动静结合，以静制动出发，将动态几何简单化、静态化。不仅要教会学生做会一道题，授之以鱼，不如授之以渔，让学生学会做这一类题。克服学生的焦虑、害怕心理。

2.学生方面，我们不仅要做题，做题目的同时也要想题，不要只会做一道题，要学会做一类题。要把这类题目的方法找到。我认为学生必须掌握动与静的关系，将其简单化、动态化。

通过对初中动点几何型问题的分析，我们针对师生共同的问题和原因，做出了一些相应的措施，期待在新课标的初中数学教学中，将动点几何这一大难题突破，或对教育方式方法的改革提出一些建议。

参考文献：

显莲.论新课程改革中教师角色的转变[J].教育探索，2004（2）.

编辑 高 琼