微元法在高中物理教学中的运用及其教学策略

杨习志

摘 要：本文首先指出学生对于运用微元法解题的困难在于不知道所遇到的问题要用微元法解决，而中学老师对于微元法的常规教学大多以遇题讲题的方式为主，并没有教会学生去发现什么情况下该用微元法解题。故笔者经过研究和思考后指出，当研究对象不是质点但连续可变或研究过程所涉及的核心物理量在连续变化，而这个变化使得我们无法用中学阶段的常规公式或规律求解时，可考虑用微元法。

关键词：微元法；连续可变；非质点问题；教学策略

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2018）12-0052-4

微元法在高中物理教学过程中扮演着非常重要的角色，它是研究物理问题的常用方法，也是启迪学生思维的重要手段。在人教版新课程教材中也多次用微元法来研究问题。比如，探究匀变速运动的位移公式，探究弹簧弹性势能的表达式，探究重力或电场力做功与路径的关系，一般曲线运动的处理方法等内容均用到了微元法。近年来，在全国各省市的高考题中也频现运用微元法解题的案例，在竞赛中则体现得更为突出。因此，做好微元法的教学工作，带领学生学会运用微元法分析和解决问题是一件非常重要的事情。

1 学生的根本问题在于不知道所遇到的问题要用微元法进行处理

笔者在查阅相关文献时发现关于微元法的教学策略研究很少，而且大都是通过举例子说明微元法的具体运用，但怎么样教会学生真正地运用微元法去分析和解决问题却很少去思考。笔者在教学过程中还发现，学生其实对于微元法基本思想的理解是没有问题的，即将研究对象或研究过程分解为若干的“元对象”或“元过程”，由于“元对象”或“元过程”都有着相同的规律，故只需要对“元对象”或“元过程”进行分析，再进行一些必要的数学或物理方法的处理即可。其次，学生对于在微元法解题中用到的数学手段的处理也是没有问题的，每次在讲运用微元法解题时，学生也都跟得上，听得懂。但一考试就会发现，只要遇到微元法的题，学生就几乎全军覆没，那么问题到底出在哪里呢？经过对学生的做题情况进行分析，笔者发现，学生的根本问题不在于微元法的解题思想和所涉及的数学手段，而在于他们根本不知道这个题要用微元法，想不起要用微元法来解这道题。换句话说，如果你直接告诉他这道题要用微元法才能解，那他很快就可以解出來。这样的问题不仅仅出现在学生身上，对很多中学老师而言也是如此。很多时候，部分中学老师也是看了答案才恍然大悟，才知道原来这道题要用微元法进行分析，而一旦知道要用微元法，解题就变得简单了，毕竟涉及到的数学问题并不算难。因此，关于微元法的教学策略不应只局限于告诉学生微元法的思想是什么，带领学生解几道具体的题目就完了，还要让学生学会如何去发现所遇到的问题要用微元法来分析。

2 如何让学生建立主动发现所遇到的问题要用微元法进行分析的思维方式？

如何让学生能够自己主动发现某道题要用微元法进行分析呢？笔者经过思考和研究后发现，需要用微元法进行分析的题型大多具有这样的特点，即研究对象不是质点但连续可变，或研究过程所涉及的核心物理量在连续变化，而这个变，使得我们无法用现阶段的公式或规律进行求解。此时，可用微元法将研究对象或研究过程进行微分，则每一微小部分或微小过程可看作是质点或不变的，那么，就可以用所学的物理规律对“元对象”或“元过程”进行分析。注意这里之所以要强调可连续变化或在连续变化，是因为只有连续变化才能进行微分，并且才能保证每一微分元均遵循着相同的规律。例如，在运动学的问题中，其核心物理量是加速度，高中阶段学的是匀变速直线运动的规律，即加速度不变的直线运动，那么如果在这道题中发现加速度在连续变化，显然用匀变速运动的相关规律是无法求解的，此时可考虑用微元法进行处理；在探究重力或电场力做功的问题时，若发现位移的方向在连续变化，而我们只学过直线位移的做功问题，此时可考虑用微元法；在探究弹性势能的表达式时，力的大小在连续变化，即涉及变力做功问题，而高中阶段主要讲的是恒力的做功问题，此时可考虑用微元法；在电磁感应的电路问题中，如果发现电流在连续变化，而高中阶段所学的电路问题都是恒定电流下的电路问题，那么可考虑用微元法处理；高中阶段研究的主要是质点或点电荷模型，如果发现质量在连续变化或是非质点非点电荷问题，那么可考虑用微元法处理。总之，当研究对象不是质点但连续可变，或研究过程所涉及的核心物理量在连续变化，而这个变化使得我们无法用中学阶段的常规公式或规律求解时，可考虑用微元法。

3 需要运用微元法进行分析的教学案例及微元法的处理技巧

例1：加速度的大小在连续变化

如图1所示，两根平行的光滑金属导轨水平放置，相距为L，电阻不计，在其左端连接一阻值为R的电阻，在导轨上垂直于导轨放置一质量为m的金属杆，其接入电路部分的电阻为r，现给金属杆一个水平向右的初速度v0，那么，当金属杆运动距离为s时的速度是多少？

解析 本题属于运动学问题，常规思路会选择公式2as=v2-v 进行求解。但仔细一想就会发现，金属杆受到的安培力在随速度的变化而连续变化，导致加速度也在连续变化，故无法运用公式2as=v2-v 进行求解，此时可考虑用微元法。

将整个过程分割为无限多小段，每一小段的加速度可认为不变，故对于任意一小段Δv=a·Δt均可用，故

（例1中涉及的微元法模型在2006年江苏高考第19题和2008年江苏高考第15题中均有体现）

例2：位移的方向在连续变化

如图2所示，用一个大小为F的水平恒力将一个质量为m的小滑块沿着水平跨度为x的山坡一直推到山顶，求水平恒力F对滑块做的功？

解析 对于做功问题的常规想法是运用公式W=Fxcosθ进行求解，但观察这道题会发现滑块的位移方向在连续变化，所以可考虑用微元法。将整个过程分割为无限个小段，每一个小段可认为是直线，故对于每一小段ΔW=FΔscosθ均可用，由于功是标量，故可将每一小段做的功进行直接相加，即

ΔW= FΔscosθ=F Δx

故W=Fx

例3：电流的大小在连续变化

如图3所示，两根平行的光滑金属导轨与水平面成θ角倾斜放置，导轨电阻不计，在导轨的上端连接一电容为C的电容器，在导轨上由静止放置一质量为m的金属杆，金属杆在下滑过程中始终与导轨保持垂直，求经历t时间后金属杆的速度及电容器所带的电量是多少？

解析 在电路问题中，对于电荷量的常规解法应是运用公式q=I·t进行求解。但仔细一分析就会发现，感应电流在随着速度的变化而变化，故可考虑用微元法。将整个运动过程分割为无限个小段，每一小段的电流可认为是不变的，故对于每一小段公式Δq=I·Δt均可用，故

I= = =CBL =CBLa

又a= =

即a=

故a=

可见a是恒定不变的，故

v=at=

q=CU=CBLv=

（例3中涉及的微元法模型来自于2013年全国新课标卷I第25题）

例4：质量的大小在连续变化

一艘宇宙飞船在外太空匀速飞行，某时刻进入一片尘埃聚集区，尘埃均匀分布且单位体积内尘埃的个数是n，每粒尘埃的质量为m0，飞船的横截面积为S，若要使飞船仍能以恒定的速度v运动，则发动机需要对飞船额外提供多大的动力？

解析 中学阶段研究的大多是质点问题，即研究对象的质量不会发生变化，而本题中研究對象的质量在随着飞船与尘埃碰撞的过程中连续变化，故可考虑用微元法。由于在任意一小段时间内的碰撞情况完全一样，故对任意一小段时间内运用动量定理得：

F·Δt=Nm0v=nvSΔtm0v

即F=nSm0v2

（例4中涉及的微元法模型来自于2016年全国新课标卷I第35题）

例5：非点电荷问题（电荷连续可变）

如图4所示，一个电荷均匀分布的带电圆环，半径为R，带电量为Q，求在圆环的中心轴线上距离圆环圆心O点x处的电场强度的大小？

解析 在中学阶段学习的大多是点电荷的电场强度问题，对于带电圆环等非点电荷电场强度的求解问题，可考虑用微元法。将带电圆环分割为无限个小段，每一小段可看作点电荷，则点电荷的电场强度公式E= 对于每一小段电荷Δq均可用，故Ei=

Exi=Ei·cosθ= · =

E= E = = Δq= =

例6：非质点问题（质量连续可变）

如图5所示，一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A端固定在球面的顶点，B端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ，试求铁链A端受的拉力T。

解析 在中学阶段学习的大多是质点的受力问题，而本题是非质点问题且质量连续可变，故可考虑用微元法处理。取一小段微元ΔL，对其进行受力分析，如图6所示，有T+ΔT=ΔG·cosθ+T

通过以上常见案例可以看出，当研究对象不是质点但连续可变，或研究过程所涉及的核心物理量在连续变化，而这个变化使得我们无法用中学阶段的常规公式或规律求解时，可考虑用微元法。

参考文献：

[1]吴强，王晓辉.微元法在高中物理教学中的应用[J]. 理科教学探索，2012（12）：53-55.

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[3]李从明.微元法在高中物理中的应用[J].教育教学论坛，2010（17）：42-43.

[4]陈小磊.例析“微元法”在高中物理中的运用[J].物理教学探讨，2009，27（11）：71-73.

[5]高越.微元法在高中物理解题中的运用[J].佳木斯教育学院学报，1999（1）：54-57.

（栏目编辑 罗琬华）