数形结合思想对提高学生解决问题能力的作用

刘明

数学是研究客观世界的空间形式与数量关系的科学，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。华罗庚先生指出，数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。数形结合在数学解题中有重要的指导意义，这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，即数量问题和图像性质是可以相互转化的，这不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。

一、数形结合思想有利于激发学生解决问题的兴趣

我听过一节苏教版四年级上学期“认识平行”的课。教师有意识从现实生活中引入新课，一上课，教师就出示了一张挂图：

师首先问：“你在什么地方见过这些物体？”

在学生回答后，师接着问“你从图中能找出哪些直线，它们的位置关系是付么样的？”

学生说出了它们有的靠到了一起，有的没靠到一起。

师画图板书出了它们的位置关系。

师讲道：“像这样在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线叫作另一条直线的平行线。”

提问：你能从生活中找出一些平行的例子吗？

这节课教师从学生身边的、熟悉的地方着手引入新知，抽象出平行的概念，按照“具体场景一抽象出标准图形一回归生活举例”的顺序，从生活中来，到生活中去，帮助学生建立平行的科学认识，增强学生用数学的眼光观察周围世界的意识。这样运用数形结合的思想来教学有利激发学生解决问题的兴趣。

二、数形结合思想有利于降低学生解决问题的难度

在课堂教学中，教师应注意用数形结合的思想训练直觉思维，让学生养成整体观察、收集信息、把握问题的好习惯。把一些较难的问题图形化，这样有利于降低学生解决问题的难度，培养学生解决问题的能力。

例如，在教学苏教版数学五（下）《公倍数和最小公倍数》时，教师作了如下安排：

1.操作活动

教师在黑板上贴出（长3厘米、宽2厘米的长方形纸片和边长6厘米及8厘米的正方形纸片），然后提问：如果用一些长是3厘米、宽是2厘米的长方形纸片分别铺在这两个正方形上，你觉得可以正好铺满哪个正方形？

让学生说出自己的猜想，接着让学生借助学具动手拼一拼验证自己的猜想是否正确，并在小组内交流自己的发现。

学生动手操作后，提问：通过刚才活动，你有什么发现？（学生通过刚才的活动会发现用上面的长方形纸片能铺满边长是6厘米的正方形，不能铺满边长是8厘米的正方形。）

师提问：为什么能正好铺满边长是6厘米的正方形，而不能铺满边长是8厘米的正方形？

教师要引导学生结合自己实际操作的图像（如下）说出因为用长是3厘米宽是2厘米的长方形铺满边长是6厘米的正方形时，每条边各铺了多少次？要求学生列出式子。再让学生说说自己在铺边长是8厘米的正方形时是怎样的一种情况，联系自己列的式子阐述为什么不能铺满。

2.想象拓展

教师提问：请同学们在自己的脑海里想想这样的长方形还能正好铺满边长是多少厘米的正方形？

先让学生自己独立思考，然后带着自己思考的结果在小组内交流。（学生的答案可能有边长是12厘米、18厘米、24厘米……的正方形）

教师提问：这什么能铺满这些正方形？说说你的理由。（引导学生明确：12、18、24.……这些数既是2的倍数也是3的倍数。）

3.阐述概念

师讲述：6、12、18.……既是2的倍数也是3的倍数，它们在我们数学上就称作是2和3的公倍数。（板书：公倍数）

提问：两个数的公倍数的个数是有限的还是无限的？为什么？

在学生讨论后，教师要帮其明确：因为一个数倍数的个数是无限的，所以两个数的公倍数的个数也是无限的，可以用省略号来表示。

师提问：8是2和3的公倍数吗？为什么？

让学生通过讨论明白：尽管8的2的倍数，但是8不是3的倍数，所以8不是2和3的公倍数。

此段教学，教师让学生动手操作用长3厘米宽2厘米的长方形，看它能把哪个正方形铺满，不能把哪个正方形铺满，为什么？引发学生进一步思考，结合自己操作过程中形成的图像找出其中原因，从而知道因为6既是2的倍数又是3的倍数所以长方形纸片能把边长是6厘米的正方形铺满；8虽然是2的倍数，但它不是3的倍数，所以不能被长方形铺满，这样能让学生更好地理解公倍数的概念含义。教师巧妙地利用数形结合的思想把公倍数的概念图形化，降低了学生理解的难度，便于学生探索理解，既让学生学习了新知，又培养了学生解决问题的能力。

三、数形结合是学生解决问题的重要途径

很多时候，我们在解决问题时，数学结合是我们常用的手段，它便于我们研究问题、解决问题，它是我们培养学生解决问题能力的重要途径。

在教学钉子板上的多边形时，教师进行了以下设计：

研究A=1时的规律。

师：那我们就先从简单的图形开始人手。（课件出示四个图形）它们的面积分别是多少呢？小组内快速交流。

学生交流后让生一个一个说四个图形的面积。（预设：学生可能都会用计算的方法来算出图形的面积，在说3号图形的时候引导学生知道可以用数的方法来数出图形的面积。（师用课件把学生说的面积打在表格中）

师：面积知道了，我们想研究面积和谁有没有关系的啊？（钉子数）

接下来我们就来数“多边形边上的钉子数”。

师提问：会数吗？数什么？再读一遍。那图形中间的钉子数不数呢？

教师带领学生齐数多边形边上的钉子数（师课件演示，并将数出的结果打在表格中）

师：数据我们都整理在表格中，我们认真观察。嗯！好像有所发现了！（板书：观察）

让一学生说自己发现的规律。教师带领学生总结出规律。（预设：1.如有学生表达不清时，只要其讲到2倍关系时，师就可相机说要讲清谁是谁的2倍。2.如有学生说到2倍，师可说那反过来就是一半、1/2，让生说谁是谁的一半。）

师最后总结道：面积数是边上钉子数的——？（生接着说一半）边上钉子数是面积数的——（生接着说2倍）这样说还真有点绕，能简洁点吗？（用字母表示）

课件出示：面积用S表示，边上钉子数用n表示。

师引导说那：S=n÷2

师：带着这个发现我们再来看，前面是8幅图，刚才研究了上面的四幅图，下面我们来研究下面的四幅图。

让学生一起数出图形的边上钉子数和面积，引起学生反思，为什么刚刚的发现在这里被否定了。

师引导学生“回头再来看图”“需要我们从不同中找相同”让学生发现上面四幅图中间只有一个点，下面四幅图中心有2个或2个心上的点。

师课件演示上面四幅图中心一个点。

师引导学生发现我们刚才的发现是有前提的（a=1）用文字语言表达刚才的发现。

学生在探索新知时，如果只是单纯的用代数的表征来进行逻辑思维推理，这和学生的年龄认知特点不符，这个阶段的学生在进行探索新知时，主要依赖直观形象，那这时，我们应用图像表征来进行推理，就便于学生来探索新知，这样了符合学生的认知特点。如果不采用这样的教学，学生只依赖抽象的思考是不能探索出以上新知的。

长期以来，教学数学知识是一条明线，得到数学教师的重视；数学思想方法是一条暗线，容易被教师所忽视。在我们的小学数学教學中，如果教师能有意识地运用数形结合思想来设计教学，那将非常有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解，提供解决问题的方法，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。“数形结合”对教师来说是一种教学方法、教学策略，对学生来说是一种学习方法，如果长期渗透，运用恰当，则使学生形成良好的数学意识和思想，长期稳固地作用于学生的数学学习生涯中。作为一线教师，我们应该系统运用数形结合思想进行数学教学，让学生养成用数形结合思想来分析问题、解决问题，这样既有利于学生理解、掌握新知，更能提高学生解决问题的能力。endprint