对立体几何教学的几点思考

福建省福州市闽侯第三中学 陈声光

立体几何是高中数学很重要的一个模块，每年高考6道解答题中必有一道立体几何问题，学考并重，以考促学。它主要研究空间点、直线、平面之间的位置关系，着重培养学生的空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力等，对学生良好思维品质的形成很有帮助。然而学生在学习的过程中，往往抓不住重点，不能认清事物的本质，无法形成良好的思维习惯。

结合笔者多年的教学实践，学生学习立体几何存在的问题主要有以下几个方面：

一、没有建立立体感和空间概念

学习立体几何，我们是从认识空间图形开始的。首先认识的是柱体，锥体，台体，还有球，在学习这部分内容的时候学生往往不能认清图形的特征，对图形概念与图形不能恰当地对应起来。比如在认识棱柱的时候，什么是棱柱？棱柱有哪些特征？如何判断一个空间几何体是否为棱柱？棱柱与其他空间图形（比如棱台）的区别是什么？只有通过不断辨析对比设疑等，才能加深我们对问题的认识，才能形成正确的判断。当然在讲授新课的时候，为了帮助学生更好地感知什么是棱柱，我们要给学生实物模型，让他们对棱柱产生直观印象，在此基础上再具体分析其中的数量关系。好的开始是成功的一半，认识清楚了简单的空间几何体，才能为后面学习的三视图、直观图，以及点线面之间的位置关系等打下坚实的基础。

二、对公理与定理内容一知半解，不能融会贯通

研究点线面之间的位置关系，是从三个公理开始的，由此有了一系列的判定定理与性质定理。比如在证明线面垂直的问题上，怎么判定一条直线与一个平面是垂直的？当直线与平面垂直时，又有哪些性质和结论？怎么由线面垂直推出面面垂直，又怎么由面面垂直推出线面垂直？学生在学习新知的时候，要理清这些问题之间的相互联系是比较困难的。这当中涉及较强的逻辑关系，需要学生建立较好的推理论证能力。作为教师，我们如何帮助学生克服这些困难显得尤为重要。

三、表述不规范，难以达成抽象概括

主要原因是学生思路不清，知识相互混淆，没有形成对每一个判定定理与性质定理的感性认识。《课程标准》在立体几何模块说明与建议中提出，“几何教育应注意引导学生通过实物模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言；通过了解平行，垂直关系的基本性质以及判定方法，学会使用数学语言表达几何对象的位置关系”。因此，当学生积累了一定的感性认识后，就应不失时机地引导他们进行抽象、概括，让学生自己动手画图和用数学语言进行描述。

既然学生在学习的过程中遇到这些困难，那么我们应该怎样帮助学生克服这些困难，取得学习上的进步呢？以下是笔者在教学实践中积累的几点思考：

1.建立空间概念，强化空间思维能力

从认识平面图形到认识立体图形是一次飞跃，要有一个过程。建立空间观念要做到：（1）重视看图能力的培养：对于一个几何体，可从不同的角度去观察，可以是俯视、正视、侧视，体会不同的感觉，以开拓空间视野，培养空间感。（2）加强画图能力的培养：掌握基本图形的画法；如异面直线的几种画法、二面角的几种画法等等；对线面的位置关系，所成的角，所有的定理、公理都要画出其图形，而且要画出具有较强的立体感。（3）加强认图能力的培养：对立体几何题，既要由复杂的几何图形体看出基本图形，如点、线、面的位置关系；又要从点、线、面的位置关系想到复杂的几何图形，既要看到所画出的图形，又要想到未画出的部分。能实现这一些，可使有些问题一眼看穿。此外，多用图表示概念和定理，多在头脑中“证明”定理和构造定理的“图”，对于建立空间观念也是很有帮助的。

2.合理恰当地使用实物模型建立形象思维

立体几何中的命题都是在经过严格的逻辑论证后才能被称为定理。但我们必须承认，所有的定理只有在直觉理解，想通领悟的前提下才能被学生真正的接受。正如数学家克莱因所说“一个数学主题只有在成为直觉上的显然后，才算研究到家”。因此在教学中要帮助学生在生活中找出命题的原型，利用学生的生活体验和直观感知，使其成为“直觉上的显然”。而实物或生活的空间(如教室)及自己制作的模具都是很好的载体。

在讲授空间点线面之间的位置关系的时候要不失时机地运用各种实物模型或者规则几何图形来帮助学生形成直观印象，辅助学生去理解其中的数量关系。比如，在讲解线面平行、面面平行的问题时，我们就可以我们的教室为例。教室就是一个长方体，这里面的线面平行、面面平行关系，学生置身其中一看便很容易理解。因为它容易被观察、被触摸、被感知，所以在教学上，我们要尽量化抽象的理论为形象的思维，这样就能贴近学生的“最近发展区”。

3.教学中注重 “转化”思维的培养

解立体几何的问题，很重要的一点是要充分运用“转化”这种数学思想。要明确在转化过程中什么变了，什么没变，有什么联系，这是非常关键的。例如：（1）两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线。斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影所成的角。（2）点到面的距离可以转化为经过这点的平行与该平面的直线与平面间的距离，也可以转化对应的三棱锥的高。而面面距离同样可以转化为线面距离，再转化为点面距离，点面距离又可转化为点线距离。（3）面和面平行可以转化为线面平行，线面平行又可转化为线线平行。而线线平行又可以由线面平行或面面平行得到，它们之间可以相互转化。同样面面垂直可以转化为线面垂直，进而转化为线线垂直。

4.注重空间向量在立体几何中的应用

空间向量的引入为处理立体几何中的推理论证及计算问题提供了新视角，为立体几何中的证明、计算提供了现成的，规范的通性通法。

虽然许多同学在解决立体几何问题时遇到了困难，感到力不从心，甚至畏惧灰心，但只要我们明确学生存在的问题，及时调整教学策略，优化教学思路，多与学生沟通交流，就一定能帮助学生战胜困难，取得更大的进步，真正实现教学相长！