基于Matlab的牛顿环实验仿真研究

申惠娟 邓锂强 徐祥福 方运良 祁玲敏 赖国霞

(广东石油化工学院理学院 广东 茂名 525000)

牛顿环实验是光学实验中关于光的干涉现象的重要实验内容．在生产实践和科研中，牛顿环也常被用作各种精密测量，如测量入射光波波长，测量介质的折射率，以及测量薄膜的厚度等等，因此学生对该实验的掌握非常重要．但是，在实验室中能实现的实验现象非常有限[1]，目前学生通过实验室只能观察到给定波长入射光，给定介质以及给定干涉薄膜下的牛顿环干涉现象，对该实验的理解易造成思维定势，不利于学生对知识的认识和理解，更不利于开发学生的知识应用能力和创新能力．因此，通过计算机仿真实现以上各种情况下的牛顿环干涉现象，展现给学生直观清晰的物理图像，对该实验的教学内容是一个必不可少的补充．

Matlab是美国MathWorks公司出品的商业数学软件[2]，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，具有简单易学、可扩展性和交互性的优点，己经被广泛用于研究和解决各种工程问题．目前利用计算机软件对该实验进行仿真的研究也有很多[3～12]，但系统的仿真还比较少，因此，本文将根据牛顿环的干涉原理[13]，拟对影响干涉结果的各项参数进行研究，实现全方位牛顿环干涉规律的仿真效果．

1 牛顿环干涉原理

牛顿环干涉是分振幅等厚干涉，如图1所示，考虑半波损失，介质薄膜上下两表面反射光的光程差为

(1)

在某点P处，两等振幅相干光叠加后的光强分布为

(2)

(3)

将式(1)和式(3)代入式(2)，得

(4)

可见，其干涉结果与透镜的曲率半径R，介质的折射率n，入射光波波长λ以及薄膜厚度(d+e)有关，因此在计算机仿真过程中，可通过改变上述参数，观察牛顿环的变化规律．

图1 牛顿环干涉结构示意图

2 利用Matlab仿真不同参数下的牛顿环干涉现象

在Matlab仿真过程中，利用‘meshgrid’和‘imshow’等命令将图像呈现出来．通过改变透镜的曲率半径R，介质的折射率n，入射光波波长λ以及薄膜厚度e得到以下仿真图像.

2.1 改变透镜的曲率半径R

改变透镜的曲率半径R得到的仿真图像如图2所示.

图2 改变透镜曲率半径R下的牛顿环干涉图样

2.2 改变介质折射率n

改变介质折射率n得到的仿真图像如图3所示.

图3 改变介质折射率n下的牛顿环干涉图样

2.3 改变入射光波波长λ

改变入射光波波长λ得到的仿真图像如图4所示.

图4 改变入射光波波长λ下的牛顿环干涉图样

2.4 改变介质薄膜厚度e

改变介质薄膜厚度e得到的仿真图像如图5所示.

图5 改变介质薄膜厚度e下的牛顿环干涉图样

3 结果讨论

根据以上仿真结果可见，牛顿环干涉图像随着透镜的曲率半径R，介质的折射率n，入射光波波长λ以及薄膜厚度e的变化而变化.

3.1 透镜曲率半径越小 条纹半径越小 相邻条纹间距越小

根据牛顿环干涉原理，可得第k级暗条纹的半径满足

(5)

即k，n，λ不变时，R与r2成正比，因此随着R的增大(减小)，牛顿环半径也增大(减小).

同理可得，相邻条纹间距满足

(6)

即k，n，λ不变时，条纹间距随透镜曲率半径R的增加(减小)而增加(减小).

由此可见，仿真结果与理论一致.

3.2 介质折射率越小 条纹半径越大 相邻条纹间距越大

根据式(5)、(6)可见，在k，R，λ不变时，条纹半径rk和相邻条纹间距Δr随着介质折射率n的增加(减小)而减小(增加)．因此，仿真结果与理论一致.

3.3 入射光波波长越大 条纹半径越大 条纹间距越大

同样根据式(5)、(6)可见，在k，R，n不变时，条纹半径rk和相邻条纹间距Δr随着入射光波波长λ的增加(减小)而增加(减小)．因此，仿真结果与理论一致.

3.4 改变介质薄膜的厚度e 条纹半径和条纹间距不变 但是牛顿环的中心圆斑却出现亮暗程度的变化

在实际做实验过程中会发现，牛顿环中间有的是亮斑，有的是暗斑，甚至处于亮暗之间的灰色圆斑．通过计算机仿真就可以清楚地了解到产生这种现象的原因．

根据牛顿环的干涉原理可知

令k=0,n=1,d=0，可得：

图6 牛顿环中心为亮斑和暗斑时的牛顿环干涉图样

4 结论与展望

本文基于根据牛顿环干涉原理，通过Matlab程序对牛顿环的干涉现象进行了仿真．仿真过程中改变干涉条件观察不同情况下的牛顿环干涉现象，仿真图像清晰，结果合理，因此可以用于实验及理论教学过程中，有效地弥补由于条件不足所产生的局限．通过程序改变不同参数，直观地观察到干涉现象，甚至对实验结果进行进一步的分析与验证，以达到对该知识全面的认识与理解，为学生进一步的探索与利用理论知识解决实际问题提供了不可缺少的途径．

Matlab程序功能强大，且简单易学，学生在完成该实验仿真的基础上，可以进而尝试对其他物理现象进行仿真，比如光学实验中的劈尖干涉、迈克尔孙干涉、单缝衍射、光栅衍射等等．因此，将计算机仿真引入到课堂中，可以更好地带动学生的学习主动性和探索欲望，提高教学效果，为培养学生自主学习能力与创新能力提供基础．

1 方运良，王德明.大学物理实验.北京：科学出版社，2016

2 陈垚光.精通Matlab GUI 设计.北京:电子工业出版社，2010

3 陈志歆，李斌.基于Matlab GUI 的牛顿环仿真课件制作.实验科学与技术，2013，11 (4) :330～333

4 王蕴杰. 基于Matlab 的牛顿环白光干涉实验仿真.大学物理实验，2014，27(4)：97～99

5 李珏璇，蓝海江.利用七色光仿真白光牛顿环干涉实验.实验室科学，2012，15(2):65～67

6 李继军.Matlab GUI在光学仿真中的应用.通化师范学院学报，2010，31(2):52～54

7 刘伟.光学干涉光谱的模拟与分析.光谱实验室，2012，29(1)：516～518

8 王贤平，周华清，桑明煌.《光学》实验仿真及可视化教学研究——以“牛顿环干涉”为例.鞍山师范学院学报， 2015，17 (6):36～38

9 周党培，陈业仙.牛顿环实验的计算机仿真.四川兵工学报，2009，30(7)：139～141

10 宫彦军，史小飞.牛顿环光学干涉实验计算机仿真.长春大学学报，2016，26(4)：32～35

11 韦仙，冯中营，康睿丹. 基于MATLAB牛顿环实验的仿真研究.物理通报，2016(8)：67～69

12 董朝云，王旭军. 大学物理仿真实验的应用研究.科技创新导报，2014(23)：241

13 张三慧. 大学物理学(第三版).北京：大学出版社，2008