一道求小石块密度的习题引起的思考——测小石块和液体密度的非常规方法

李甲林

(苏州市高新区第一初级中学 江苏 苏州 215011)

1 习题分析

如图1所示，一个平底试管中有适量的水，试管上下均匀厚度不计，将试管放在装适量水的烧杯中，能竖直漂浮在烧杯的水中，这时试管中水面到烧杯底部的距离是L．当把一个小石块放在试管的水中浸没时，试管中水面到烧杯底部的距离仍是L，已知试管和烧杯的底面积之比为1∶3，水的密度为ρ水，求小石块的密度．

图1 题图

分析：这道习题所给的条件较少，要解答这道习题，首先要解决试管排开水的体积问题．

方法一：因为试管没有浸没在水中，所以用烧杯的底面积减去试管的面积后再乘以水面上升的高度来计算试管排开水的体积．

方法二：若试管没有接触烧杯底部，应该用烧杯的底面积乘以水面上升的高度来计算试管排开水的体积．

哪种方法正确呢？其实只要利用平移法就能很巧妙地解决这个问题．

分析过程如下：如图2所示，我们可以把试管在水下的部分移到烧杯的底部，使它离水面一定距离，而这时水面并不会下降，这就和把一个小石块放入烧杯中小石块排开水的体积就等于烧杯的底面积乘以水面上升的高度一样．由此可见，试管排开水的体积都是用烧杯的底面积乘以烧杯中水面上升的高度，试管排开水的体积还等于试管的底面积乘以试管浸在水中的深度．

图2 平移法计算试管排开水的体积

由图3可知，假设试管放入小石块后试管相对于烧杯下降了h，而烧杯中水面上升了高度H，则放入小石块后增加排开水的体积为S试管(h+H)=S烧杯H，因为试管和烧杯的底面积之比为1∶3，所以h∶H=2∶1.

图3 实际过程分析

根据漂浮条件，物体的质量就等于它排开液体的质量，小石块的质量可表示为

m=ρ水S试管(h+H)

那么小石块的体积呢？因为当把小石块放在试管的水中浸没时，试管中水面到烧杯底部的距离和没放石块时试管中水面到烧杯底部的距离相等，我们可以发现，放入小石块后试管底部下降了h，试管中水面到试管底的体积之差就是小石块的体积，所以小石块的体积等于V=S试管h．因此小石块的密度为

【变式】在图1的基础上，增加一把刻度尺，测一杯未知液体的密度．

分析：可以根据漂浮条件知道漂浮物体的质量等于被排开水的质量，可以设试管的底面积为S，用刻度尺测出浸入水中的深度，可以表示出试管排开水的体积，根据m=ρ水V排=ρ水Sh可以表示出质量．可以使试管中的水和未知液体的体积相等，根据

可以算出水的体积就等于未知液体的体积．实验步骤如下：

(1)用刻度尺测量出空试管漂浮在水中时浸入水中的深度h1；

(2)把试管中装入适量的水使其漂浮在水中测量出浸入水中的深度h2；

(3)把试管中的水倒出装入等体积的未知液体使其漂浮在水中测出浸入水中的深度h3．

试管中水的质量为

m水=ρ水V排=ρ水S(h2-h1)

水的体积

可知试管中液体的质量为

m液=ρ水V排=ρ水S(h3-h1)

液体密度

2 测小石块和液体密度的非常规方法

测不规则小石块或液体密度除了常规方法：利用天平测出小石块或液体的质量，用量筒和水测出体积来求解密度．还可以利用漂浮条件和称重法测密度．

2.1 利用漂浮条件

2.1.1 利用量筒和水测出一个能漂浮的玻璃小酒杯的密度

实验步骤如下：

(1)在量筒中装入适量的水读出体积V1；

(2)使小酒杯漂浮在量筒的水中读出体积V2；

(3)使小酒杯沉入量筒的水中读出体积V3．

分析：小酒杯漂浮，其质量就等于它排开水的质量，即

m=ρ水(V2-V1)

体积

V= V3-V1

小酒杯的密度

2.1.2 利用小酒杯、量筒和水，测小石块的密度

根据漂浮物体的质量就等于它排开液体的质量，小石块的质量就等于他放入小酒杯中漂浮时多排开水的质量，再测出小石块的体积，就可求出小石块的密度．

2.1.3 利用量筒、小酒杯和水测未知液体的密度

根据漂浮条件能求出小酒杯的质量，如果让小酒杯也漂浮在未知液体中，酒杯排开液体的质量等于酒杯的质量也就等于被酒杯排开水的质量．实验步骤如下：

(1)在量筒中装入适量的水读出体积V1；

(2)使小酒杯漂浮在量筒的水中读出体积V2；

(3)在量筒中装入适量的待测液体读出体积V3；

(4)使小酒杯漂浮在量筒的待测液体中读出体积V4．

则待测液体的密度为

2.2 利用称重法测密度

2.2.1 利用弹簧测力计、水测出一个小石块的密度

实验步骤如下：

(1)在空气中测出小石块的重力G；

(2)把石块浸没在水中读出弹簧测力计的示数F1．

石块质量

石块的体积等于排开水的体积

而浮力

F浮=G-F1

所以石块的密度为

2.2.2 利用弹簧测力计、水和小石块测出一杯盐水的密度

先用弹簧测力计在空气中测出小石块的重力G，把石块浸没在水中读出弹簧测力计示数F1，把石块浸没在盐水中读出此时弹簧测力计的示数F2．

根据浮力公式

F浮=ρ液V排g

可知

石块在盐水中受到的浮力

F浮=G-F2

而

所以盐水密度为

3 结束语

通过分析测物质密度的方法，我们发现解决问题的方法有很多．有时，利用图形、平移、等量代换等有效的方法，可以把较为复杂的问题简单化，往往会取得意想不到的效果．

1 孟进.物理教学问题.大连：辽宁师范大学出版社

2 项红专.物理学思想方法的研究.杭州：浙江大学出版社