匀强磁场中任意刚性导线的动生电动势

陈余华

(江西省大余中学 江西 赣州 341500)

黄亦斌

(江西师范大学物理与通信电子学院 江西 南昌 330022)

磁场中导体运动导致的动生电动势是电磁感应的一个重要内容．而动生电动势的计算也是高考和竞赛的重要考点，也是大家讨论的一个热点[1]．文献[2]研究了较为一般的情况，即刚性直导线在垂直于匀强磁场的平面内绕任一固定点旋转．其结论是，无论固定点在哪里，导线中的电动势都由其中点速度决定，并给出公式和相关证明．

本文欲将其结论推广到更一般的情形，包括直导线的任意运动以及任意形状的刚性导线的任意运动，并对结果给出更为严格和简短的证明．

1 出发点

讨论的出发点是一段导线微元dl在磁场中运动时产生的电动势

dE=v×B·dl

(1)

该式不仅给出了电动势dE的大小，也给出了其符号，而且以沿dl方向为正．根据矢量混合积的性质，该电动势等于3个矢量v,B,dl所构成的平行六面体的体积(可相差一个负号)，如图1所示．如果v,B,dl构成右手系，则dE>0；若三者构成左手系，则dE<0．当然，如果v,B,dl中有任何两个方向相同(或相反)，则dE=0．所有这些都与动生电动势的通常判断结果(包括大小和方向)相同．

图1 混合积v×B·dl

还需对刚体的运动做一陈述．在刚体上取一点D，称为基点，则刚体的任一运动状态可视为随基点的平动和绕基点的转动的合成．平动由vD表征，转动由角速度ω表征．这里的角速度矢量沿转轴，且由右手螺旋法则确定：伸出右手，让四指绕向与旋转方向一致，则大拇指的指向就是角速度的方向．这样，刚体上任一点P的速度为

v=vD+ω×r

(2)

其中r为点P相对于点D的位置矢量．基点可以任取，从而vD和r随之变化；但无论取哪一点为基点，刚体的角速度ω是确定的．

2 直导线做任意运动时产生的电动势

结论一：刚性直导线在匀强磁场中做一般运动时产生的电动势，等于它以中点速度做平动而产生的电动势

E=B×l·vC=B·l×vC

(3)

如果导线限制在某平面内运动(比如垂直于磁场的平面，即文献[2]所考虑的情形)，那么此时可以用图2来对结论一进行说明．导线从位置AB运动到A′B′时扫过的面积，与导线仅做平动而运动到A″B″时所扫过的面积，二者显然相等．故两种运动所切割的磁通量相同，电动势相同．

图2 做平面运动的直导线

对于更一般的情形，可对结论一做如下说明：在中点两边对称地取两段微元，它们的速度都是中点速度加上相对于中点的速度．它们的后一相对速度一定相反，对总电动势的贡献相反，从而只剩下各自的中点速度导致的贡献．由于相对运动的效应成对抵消，故而最终只剩下共同的、中点速度导致的效应．

结论一的严格证明如下.

v=vC+ω×xe

(4)

将其代入式(1)，考虑到微元为dl=dxe，积分，并注意vC,ω,e,B在积分时都是常矢量，得

EAB=BLvCcosθ=ωBS

(5)

图3 处于匀强磁场中的导线

3 一般闭合回路中的电动势

结论二：对于匀强磁场中任意形状的刚性线圈，其做任意运动时的总电动势为

E=B·S×ω=B×S·ω

(6)

其中S为其面积矢量．

这里先对面积矢量作些说明．

(1)面积矢量仅对回路才有定义．不闭合的导线没有“面积矢量”一说．

(2)对于平面回路，其面积矢量的大小就是回路面积的大小，其方向沿回路平面的法向，且由右手螺旋法则确定：四指绕向与回路的绕向(电流或电动势的正方向)相同，则大拇指的方向即为S的方向．

(4)N匝线圈的面积矢量是单匝线圈的面积矢量的N倍．如果匝与匝之间距离较大，或者线圈的绕行相当任意，那么可用下面的一般公式定义其面积矢量

(7)

(5)回路的面积矢量显然跟原点的位置无关，而式(7)正满足这一条，虽然表面上它似乎跟原点的位置有关．这是因为，原点换成O′时，r′=r+rO(图4)．由于rO为常矢量，故

dr′=dr

于是

其中用到了∮dr=0．

图4 面积矢量

对于常见的矩形线圈旋转产生电动势的问题中，当线圈平面与B平行时，线圈的电动势最大，且最大值为BSω．用式(6)来解释，那是因为此时B，S与ω两两垂直．仔细分析还表明，式(6)也正确反映了电动势的方向(注意电动势的正方向就是回路的绕向)．而图3中的回路ABODA的电动势依式(6)计算为

E=Bey×[-S(ex+ey)]·ωez=BSω

(8)

当然，式(8)也可以通过分析回路每段的电动势而得到．

可以根据式(6)来判断线圈的电动势何时为零.这包括以下情形：

(1)ω=0，即线圈只做平动，无转动；

(2)ω,B同向，即线圈的转轴沿磁场方向；

(3)ω,S同向．对于平面线圈而言，这意味着线圈的转轴垂直于线圈平面；

结论二的证明如下.

任取线圈刚体的基点D，把式(2)代入式(1)，积分，得

E=∮dE=∮(vD+ω×r)×B·dr=
vD×B·∮dr+∮dr×(ω×r)·B

其中vD,ω,B为常矢量，而

dr×(ω×r)=ω(r·dr)-(ω·dr)r=

其中rr为并矢(二阶张量)．由于

故

S×ω·B=B×S·ω

其中，用到了面积矢量的定义(7)．证毕．

4 任意形状的导线中的电动势

结论三：对于任意形状的刚性导线ALB，其在匀强磁场中运动时产生的动生电动势由两部分构成：直导线AB的电动势和回路ALBA的电动势，即

EALB=EALBA+EAB

(9)

该结论的证明非常简单，几乎不需要文字说明，仅图5足矣．

图5 一般刚性导线的电动势

于是，根据结论一和结论二，导线ALB的电动势为

EALB=B×S·ω+B×l·vC

(10)

对于直导线，式(9)和(10)的第一项为零；对于闭合线圈，它们的第二项为零. 而对于图3中非闭合的空间导线BODA，根据结论三，其电动势应该为回路BODAB的电动势与直线BA的电动势之和．前者由式(8)给出，后者与式(5)相反，故导线BODA电动势为零.(当然，直接分段考虑也可得到该结论．)

1 杨培军，王鹏.数学平均值在物理上的应用.物理通报，2015(5):22～25

2 徐洪图，窦人镜.导体棒转动切割磁感线问题探微.物理通报，2017(3):52 ～ 53