“变”字当头，提升数学思维能力

江苏省淮阴师范学院附属中学 徐 璐

变式训练是一种非常有效的教学手段，教师通过变更问题情境或改变思维角度，引导学生从不同途径寻求解决问题的方法，能够高效地帮助学生发散思维，提高其独立分析与解决问题的能力。因此笔者认为，教师在数学课堂上应当善于利用变式训练的手段，引导学生多问、多思、多用，激发思维的积极性与深刻性。

一、多题一解，求同存异

多题一解指的是通过收集、比较一些存在内在联系的数学习题，引导学生找到解决这类问题的通性通法，求同存异，感悟其共性内容。多题一解的变式训练能够有效促进学生认清问题的本质，提高他们推理、概括的思维能力。

比如笔者在对《一次函数》这一节的内容进行教学时，列举了以下三个习题让学生们进行解答：（1）已知一次函数图象过（0，4）、（-2，0）两点，求该一次函数的解析式；（2）已知一次函数的图象过（3，-3）点，并且与直线y=-2x+1相交于x轴上一点，求一次函数的解析式；（3）一次函数图象过（3，0）点，且与正坐标轴所围成的图形面积为9，求一次函数的关系式。笔者通过引导学生对上述三个问题进行比较与分析，最终发现了这类问题共性的解决思路：首先根据已知条件写出含有待定系数的函数表达式，然后从已知条件中找到x、y的两对值代入函数关系式中，得到以待定系数为未知数的方程，求解未知系数，最后再代入函数关系式中即可得解。三个问题的情境虽然不同，但问题的本质是相同的，例如问题（1）明确给出了一次函数图象上的两个点坐标，问题（2）与问题（3）虽然只给出了其中一个点的坐标，但是另一个点通过对已知条件进行转化也可以得到，“与直线y=-2x+1相交于x轴上一点”可以得到一次函数图象经过点（0，1），“与正坐标轴所围成的图形面积为9”可以求得一次函数图象经过的另一点为（0，6）。

在上述教学活动中，笔者通过引导学生进行多题一解的变式训练，促进他们在比较中感悟问题的共性之处，使学生们深入理解了待定系数法求解函数解析式的问题情境与具体解决思路，取得了很好的教学效果。

二、一题多解，触类旁通

一题多解指的是引导学生对同一问题寻求不同的解决途径，用多种方法思考问题。这种变式训练方法能够使学生的思路更加开阔，提高其发散性思维能力，促进学生触类旁通，多向思考。

比如笔者在对《图形的全等》这一节内容进行教学时，让学生们尝试用尽可能多的方法解决如下问题：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE，求证AB=CD。这一问题有很多的解法，例如存在解法一：如图（1），作辅助线BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G，进而利用AAS公理可以证明△BFE≌△CGE，所以BF=CG。同样利用AAS公理可以进一步证明得到△ABF≌△DCG，所以得到AB=CD。此外，学生们通过添加不同的辅助线可以得到不同的解决方法，比如如图（2）所示，作CF∥AB，交DE的延长线于点F，首先证明△ABE≌△FCE，得到AB=CF，又因为∠F=∠BAE, ∠ABE=∠D，所以∠F=∠D，CD=CF，进而得到AB=CD。又比如如图（3），延长DE至点F，使EF=DE，进而由SAS公理得到△BEF≌△CED，所以BF=CD,∠D=∠F。又因为∠D=∠F=∠BAE，所以△ABF是等腰三角形，进而得到BF=AB=CD，得解。

在上述教学活动中，笔者引导学生们进行了一题多解的变式训练，使学生们发现添加不同的辅助线可以得到不同的解决思路，拓展了学生的思维，同时促进他们善于通过转化从各种途径去解决问题，提高思维的灵活性，丰富了数学课堂。

三、一题多问，发展扩充

一题多问指的是教师对课本例题、习题进行“改装”或引申，通过变式对原来的问题进行发展与扩充，既延展了问题的宽度，更深化了学生对数学新知的认识，无形中加深了学生对问题的深度理解。这一变式训练的方法有助于培养学生的问题意识与探究能力，提高其创造性思维。

比如笔者在对《二次函数》这一节内容进行教学时，采用了一题多变的教学策略。笔者首先引出了如下例题：如图：已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=-1，与x轴交于A、B两点，其中A点的坐标为（-3，0）。（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PA+PD的值最小？若存在，请求出P点坐标。对于这一问题，学生们用待定系数法很快求得抛物线解析式为y=x2+2x-3，继而可得到其对称轴及B点坐标。由于A、B关于抛物线对称轴对称，连接BD，BD与抛物线对称轴的交点即为所求的P点。紧接着笔者提问道：“那么在抛物线上是否存在点E，使S△ABC=S△ABE？若存在，求出E点的坐标。” 通过对原来问题进行变式，笔者引导学生们进一步巩固了轴对称的性质、平面图形的面积计算等知识点。

在上述教学活动中，笔者通过一题多问对相关习题进行了深度挖掘，不仅促进学生们在变式训练的过程中扎实牢固地掌握了基础知识，激活了学生的思维，同时也提高了他们的探究与归纳能力，发展了学生的数学能力，高效完成了既定的教学目标。

综上所述，多题一解、一题多解、一题多问等策略都是重要的变式训练手段，能够帮助学生发现问题的本质，深化巩固知识，培养学生探究、推理、归纳、联想等思维能力，同时，在这样的教学中，学生的数学素养自然也在教师的点滴教学中得以提升。总之，教师根据教学内容与目标引导学生进行相关的变式练习，对于提高学生的数学素质具有重要的意义，当代教师应当善于通过“变”字提升学生的数学思维能力！