初中数学三角函数难点及教学方法探索

申海东

【摘要】 三角函数作为初中数学知识体系的重要构成，亦是教学难点所在.在具体的教学实践中，很多师生表示初中数学三角函数困难重重，不仅仅缘于其本身的学科特性，同时亦受多重因素影响.正确的教学方法导入，将对降低初中数学三角函数学习难度发挥重要作用.正是因为如此，多年来学术界对初中数学三角函数难点及教学方法的探讨不胜枚举，并从不同维度提出了相关践行策略.本文基于对初中数学三角函数难点的分析与论述，重点就其有效教学方法进行了探索.

【关键词】 初中数学;三角函数;难点分析;教学方法

在义务教育期间，数学作为基础学科，在学生学习生活中扮演着重要角色，随着年龄增长所关涉及的知识由浅入深.综合来讲，初中数学领域对新知识的引入并不突兀，是建立在就有知识基础之上的，同时为后续更加深刻的学习打下基础，具有承上啟下的功能.以当前的教学设置来看，初中数学知识点的难易分布较为均衡，涉猎广泛，其中三角函数是学生学习的难点所在，在教学实践中，需要教师花费大量的时间和精力进行教授，但事实上收效却不明显.究其根本，教学方法引入与初中数学三角函数难度具有直接关联，其创新与优化至关重要.

一、初中数学锐角三角函数难点分析

在初中数学课程体系中，三角函数占据着重要位置，相比于高中数学，初中数学三角函数的知识内容较为基础，为日后复杂的函数学习奠定了基础，但对学生而言，其作为新型概念，接触学习中的困难客观存在.在具体的实践中，学好三角函数的重点在于精准掌握其相关概念及本质含义.据相关调查发现，很多初中生对数学三角函数的概念认知模糊、抽象，未能精准地掌握其中本质含义，给后续学习应用造成了极大困扰.基于此，初中数学三角函数的难点还体现为，对三角函数建立直观的认知.初中数学三角函数的最显著特点是数形结合，即一个解析式对应一个图形，但学生却往往忽视了这一点，对图形的借用不足，一定程度上增加了解题难度.综合来讲，初中数学三角函数的难度是客观存在的，加之教学方法单一，很容易增加学生的枯燥感、挫败感以及压力感，使之以逃避的方式对待三角函数学习，最终导致学习效果每况愈下.因此，初中数学三角函数的难点不单单体现在其关联知识内容上，还受人为主观因素影响，建立科学的教学方法体系至关重要，是提升学生学习实效的关键因素.

二、初中数学三角函数教学方法探索

初中数学三角函数的难点构成多元化.素质教育背景下，应注重学生主体地位发挥，结合初中数学三角函数特性，不断创新和优化教学方法，以激发学生学习兴趣，提升最终实效.基于上述分析，针对初中数学三角函数难点，提出了以下几种教学方法，以供参考和借鉴.

（一）注重情境，深入本质

在初中数学知识构成体系中，每种函数都有其相对应的解析式，而系数可谓函数解析式中灵魂的存在.对此，初中学生要深刻理解各个系数代表的不同含义，掌握其差异化的限制要求，避免概念混淆，给数学三角函数学习造成难度.对于绝大部分的初中生而言，三角函数作为新接触的数学概念，其知识构成体系相对简单.此时，教师要着重强调基础知识构成与积累，为后续学习深入奠定扎实的基础.例如，锐角三角函数的第一节课，我们在进行实际的教学过程当中可以这样来设计进行情境引入，使学生更深入地理解定义.

案例1  教师活动：点出课题并提出问题：“你能说出下面函数的名称并指出其中的自变量和函数.”

（1）y= 2 3 x-1;（2）y= 4 x ;（3）y=-x2+2x-3.

学生活动：学生回答（1）一次函数;（2）反比例函数;（3）二次函数.

教师活动：归纳提升“这些函数反映了两个变量之间数值与数值对应的函数关系”;进一步提问“存在不存在一种函数它反映的两个变量之间不是数值与数值对应的关系？”创设情境，给出实际问题：“始建于1350年的意大利比萨斜塔落成时已经倾斜，1972年比萨地震，这座高54.5米的斜塔大幅摇摆22分后，仍巍然屹立.可是，塔尖偏离中心的距离增加到5.2米.你能用‘塔身中心线偏离垂直中心线的角度来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？”抽象出数学问题，“已知AB=54.5 m，BC=5.2 m，求∠α=？”

问题是学习的起点，通过上述问题抓住学生的注意力，激发学生学习的内在需求，并使学生认识到今天学习的内容与以往的函数不同，激发学习的兴趣.

（二）逐步引导，交流探索

数形结合是初中数学教学领域的基本方法策略.事实证明，一味地进行数学三角函数知识概念灌输，并不能帮助学生准确把握其中含义，对相关知识的学习不够直观、深刻，有时甚至可能增加学生的畏难情绪.而初中数学三角函数最为明显的特征是涵盖了各种各样的图形，在信息化时代背景下，多媒体技术在教育领域的应用，为初中数学三角函数教学方法创新提供了有利契机，可以利用信息技术逐步引导学生进行探索，如锐角三角函数的第一节课，我们在情境引入之后就可以逐步引导，来进行对正弦定义进行探索.

案例2  教师活动：复习提问：“研究过直角三角形的哪些内容？”

学生活动：学生回答：“勾股定理、直角三角形两个锐角互余.”

教师活动：归纳提升，设疑探究：“以前研究过直角三角形边与边之间的关系、角与角之间的关系，今天研究边与角之间的关系，不妨探索两边的比值与角的关系，首先研究对边与斜边的比值与锐角的关系.”

角度  这个角的对边 斜边

30°  1 2

45°   2  2

60°   3  2

当锐角的度数一定时， 这个角的对边 斜边 的值是唯一确定的.

随着角度的变化， 这个角的对边 斜边 的值也随之发生变化.

教师活动：提出问题“当锐角∠A取不同角度数时，它的对边与斜边的比值是否也随之改变？我们不妨选一些特殊的值，试着解决.”教师讲解求30°角的对边与斜边比值.

学生活动：学生自主探究，完成求45°，60°角的对边与斜边比值.

教师活动：教师通过几何画板演示一些不特殊的角的对边与斜边的比值.

角度  这个角的对边 斜斜边

∠BAC=17.33°  BC  BA  =0.30

∠BAC=37.84°  BC  BA  =0.61

∠BAC=71.53°  BC  BA  =0.95

（几何画板）

教师活动：设计问题串引导学生归纳探索过程“在这个变化过程中有几个变量？哪两个变量？这两个变量有什么对应关系？你有什么发现？我们研究的角度都是什么范围内的角？”

学生活动：学生回答：随着角度的变化， 这个角的对边 斜边 的值也随之发生变化.（教师规范语言）

教师活动：进一步提问“随着角度的变化， 这个角的对边 斜边 的值也随之发生变化，当锐角度数一定时， 这个角的对边 斜边 的值也是唯一确定的吗？”

角的两边是射线，刚才选定了两边长，现在重新选取两边长构造一个新的直角三角形，取30°角的对边为a，求它的对边与斜边的比值.这时， 这个角的对边 斜边 的值不变.

学生活动：学生自主探究，验证45°，60°角确定时， 这个角的对边 斜边 的值确定的.

利用相似三角形的有关知识，证明不是特殊的角度，当∠A的度数一定时， 这个角的对边 斜边 的值是确定的.

已知：∠A=∠A′，∠ACB=∠A′C′B′=90°.

求证： BC AB = B′C′ A′B′ .

学生完成证明，总结结论.

教师活动：完善结论：“随着角度的变化， 这个角的对边 斜边 的值也随之发生变化，当锐角的度数一定时， 这个角的对边 斜边 的值是唯一确定的.这正好符合函数的定义，它是我们这章学习的锐角三角函数之一——正弦函数，一条是这个角的正对的边，一条是斜边，斜边称为弦，所以叫正弦函数.”（PPT）

这个环节是使学生理解锐角三角函数概念，这个概念和以前所学过的函数不同，它反应的不是数值与数值的对应关系，而是角度与数值的对应关系，学生初次接受这种关系，理解起来有一定困难，而这种关系对学生深刻地理解函数的概念又有很大的帮助.通过对特殊角对边与斜边的比值研究，再就一般情况进行研究，使学生感受到在直角三角形中，角的度数不同时，这个角的对边与斜边的比值也不同，通过学生活动体会函数思想，为引入正弦函数做好铺垫.有了上面的感受，会使学生自然地想到，在直角三角形中，一个锐角取一定的度数时， 这个角的对边 斜边 的值是否也是唯一确定的？通过学生探讨30°、45°、60°的特殊角度的基础上，用相似的知识完成任意锐角的情形的证明，这种由特殊到一般的过渡，使学生有较多的机会体验：当锐角的度数一定时， 这个角的对边 斜边 的值是唯一确定的，这为正弦函数的概念铺设了必要的台阶，从而水到渠成的概括出正弦函数的概念.

纵观整个初中阶段的数学三角函数，其中涉及题型较为基础、简单，即使复杂的题型构成也是由基础积累和延伸出来的.所以，初中数学三角函数教学中，教师应在循序渐进的原则基础上，由表及里、由浅入深，让学生掌握基本解题方法，继而更好地应用于生活实践.以当前的情况来看，大多数初中生对数学三角函数的认知片面、零碎，尚未形成完整的知识架构体系，进而导致学习难度逐步增加.因此，教师要善于发现和总结初中阶段学生的认知成长规律，注重教材内容设置优化，帮助学生建立完整的知识结构，引导他们有机地将前后知识点串联在一起，为后续学习铺筑道路.另外，教师还需注重学生活跃思维能力培养，提高他们对新问题、新方法的敏感程度，使之在相对轻松、愉悦的课堂氛围中，自主探究新方法并善于运用，以此来辅助知识结构体系建设的完善.例如，在数学三角函数化简教学中，教师可以相关问题设置为导向，通过任务驱动学生思考问题、解决问题，启示学生多转变视角思考，继而养成他们良好的解题习惯，使之感受成功之余，在扎實地掌握既有知识的过程中培养学生发现问题、解决问题的能力.

三、结 语

总而言之，初中数学三角函数难点是客观存在的，需选用正确的教学方式方法.初中学生由于年龄还小，不太成熟，直观而形象的教学更能吸引他们的注意力，引起他们的兴趣.因此，教师要结合所要教授的内容和学生的特点来对教学活动进行安排，要尽量增加一些动手操作的活动，让学生在实践中找到或者验证问题的答案，让问题的解答方式更加多元化，从不同维度或视角分析初中数学三角函数难点，这样更有利于学生发散思维和创新能力的培养.

【参考文献】

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