筑巢引凤:多元导入策略提升学生数学核心素养—以专家教师李庾南老师课例为例

广东省广州市黄埔区东区中学(510760)徐晗

被誉为“道德优美、学术纯粹”典范的李庾南老师是全国著名中学数学特级教师,她连续26年主持开展了8轮数学教改实验,她总结、提炼的“自学·议论·引导教学法”,在全国初中数学教学界产生了广泛影响.我们常常感动于她课堂的大气、从容和精彩,最近一段时间,笔者尝试从李庾南老师近30节课例的某一课堂环节入手,从中解读她的课堂教学,比如,李老师一种基于数学核心素养发展的课堂引入:情境中学、学有情境;情由境生,引发体验,从而引向进一步思维生成.本文仅选取李老师三个典型课例,解读这种筑巢引凤式的课堂引入.

一、创设活动情境,展现思维过程

课例展示《等腰三角形》导入生成片断

片断1 开课阶段,师生回顾轴对称与轴对称图形.

师:在轴对称的学习中,我们学习过轴对称、轴对称图形哪些相关知识?

生1:轴对称图形被对称轴分成的两部分全等,这两部分关于对称轴对称.

生2:对应线段或其延长线如果相交,则交点在对称轴上.

生3:如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.······

(给每个学生提供一个等腰三角形纸片)

片断2 师:请同学们通过折叠等腰三角形纸片,根据轴对称图形的定义、性质探讨等腰三角形的性质.(在学生个人折叠研究基础上,小组内交流,再全班汇报.)

生4:我们小组交流后,有如下发现:如图1,直线AD是等腰△ABC的对称轴,由轴对称性质可得△ABD∼=△ACD,故∠B=∠C,∠ADB=∠ADC=90°,∠BAD=∠CAD,BD=DC.

图1

师:你的意思就是等腰三角形的两个底角相等(利用PPT演示翻折变换),还有等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

生5:我们小组还有一些发现:如图2,取腰AB,AC的中点E,F,连接BF,CE,DE,DF.由轴对称性质可得AE=AF,BE=CF,DE=DF,△AED∼=△AFD,△EBD∼=△FCD.根据全等三角形中的对应边、对应角相等,BF,CE的交点Q在AD上,BF=CE,QE=QF,BQ=CQ,连接EF,图中有等腰△QBC、△QEF、△AEF······等.

图2

师:正确!你们基于轴对称的性质发现了很多有意义的结论!其他小组还有吗?

生6:等腰△ABC的对称轴上的任一点与两腰上的对称点的连线都分别相等.

师:很好!以上的发现都源自等腰三角形的本质特征—轴对称图形,对称轴是底边的垂直平分线,因而我们通过作出等腰三角形的对称轴,得到两个全等的三角形,从而利用全等三角形的性质证明等腰三角形的这些性质.

课例解读核心素养是在复杂的情境中解决问题的能力和品质,是个体在情境的持续互动中,通过不断解决问题而形成的,同样核心素养的形成是以数学知识为载体,以数学活动为路径而逐步实现的,情境化是数学知识转化为数学素养的重要途径.本环节的探究活动,教师给了学生充足的时间和空间,学生在思考、操作、交流中充分展现出多样化的思考过程,学生通过折叠对等腰三角形性质的认识已经不只停留在两条性质定理了.在学习过程中老师注重引导、指导学生透过现象研究本质,逐步深人,深度思考.由于在课堂上为学生创设了合适的情境、感兴趣的问题或数学活动,激发了学生的思考,学生在导入活动中深入体验,合作讨论,逐步形成数学观念、思维方式和探究能力,促进数学知识和技能的结构化,学生的理性思维在解决问题情境中逐步提高.

该课根据研究对象的本质特征设计了轴对称的实验模型.其实,研究轴对称、中心对称、全等变换等问题时,都可设计数学实验模型,据本质设计模型,从“事实”出发,由模型揭示本质,让学生经历归纳、概括事物本质的过程,在反思、在各种活动重复操作中提升数学建模、数学抽象、直观想象等素养.

二、新旧衔接对比,培养系统思维

新旧衔接对比方法就是老师在开始新课前,根据学生在前一节学习过程中的具体表现,如课堂上对问题的回答,以及对学生作业的判断,或者与新课内容相关的学过的知识来确定新知识的教学基础并以此设计课堂导入.也就是利用旧的知识来导入新的知识,实现这个过程的完美的过渡,从而实现整个课程的紧密联系,也能极大的增强学生学习数学知识的系统性,有助于在学生脑海中形成数学知识的框架,帮助其更好的理解数学.

导入片断设计《二元一次方程组》

(一)从学生已熟悉的算术模型(“两数和”+“两数差”)÷2=大数,(“两数和”−“两数差”)÷2=小数入手,建立“二元一次方程”和“二元一次方程组”两个数学模型,分析求解思想,探究求解方法.

问题1 已知两数的和等于8,求这两个数.

(1)学生易设这两个数分别为x、y,由题意建立方程:x+y=8.

(2)分析方程x+y=8的特点,概括二元一次方程的定义:含有两个未知数,并且未知数的指数都是1的整式方程叫做二元一次方程.

(3)二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.

如何求x+y=8的解?

在学生研究的基础上总结.

①求解方法.

把关于x、y的二元一次方程看作是关于y(或关于x)的一元一次方程,若把x(或y)看作已知数,先给定一个x(或y)的值,再求相应的y(或x)的值,这一对x、y的值就是方程的一个解.

②二元一次方程的解的特点.

二元一次方程的一个解是一对未知数的值;两个未知数的值是相互制约的,所以记作:······;x、y这两个数虽相互制约但不唯一.一般地,二元一次方程有无数个解.

问题2 已知两数的差是2,求这两个数.

学生易解:设这两数中较大的数为x,较小的数为y,则x−y=2.则······同样,这两个数也是不唯一的.

问题3 已知两数的和为8,两数的差为2,求这两个数.

(1)学生易得方程组,建立“方程组”概念.

设这两数中较大的数为x,较小的数为y.由题意得,把这样的两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组.

(2)什么是二元一次方程组的解.

二元一次方程组中的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.(应由学生自主建构)

在学生将算术模型中“和、差”问题的解题经验自觉地迁移到解方程组的基础上分析.①±②的依据是等式的性质,即“等式两边都加(减)相等的量,结果仍相等”,目的是“消去一个未知数y(或x)”,转化为关于x(或y)的一元一次方程,先解出x(或y),然后求另一个未知数抓y(或x).

课例解读李老师本课的导入设计用到了小学数学模型解决了初中二元一次方程组解法的理解问题,让学生更加迅速地进入新知识的学习状态.利用已有的数学知识去推理新的数学知识,也是数学学习发生的一个重要途径,从学习心理的角度来看,这样的过程就是教育心理学家所说的利用知识的逻辑性(而这恰恰是数学学科的特征)来演绎新知识的过程,最大的意义是可以让学生对数学知识的理解不再局限于直接用来解题,而且可以利用其“生”出新知识,这对于拓展学生对数学的认识是极为有益.正如章建跃先生所言:“当前数学教学存在的主要问题仍然是‘碎片化的教学’,做题目成为一切,充其量只是培养会做题目的机器,从数学育人的出发点和归宿来看,数学教学应注重思维教学,培养学生的理性思维,发展学生的理性精神,这是根本,实现这一根本的途径,以数学内容整体性为载体,系统思维为目标,单元教学为途径.”,基于数学核心素养的数学教学,数学课程就是一个有机整体,要整体理解数学课程的性质与理念,整体掌握数学课程目标,整体认识数学课程内容结构─主线─主题─关键概念、定理、模型、思想方法、应用,在设计教学时要有宏观的数学视野,整体的框架设计与实施教学,教给学生是结构性和系统性的知识,极大地促进学生运算能力、推理能力、问题解决能力的素养形成.

三、巧设问题悬念,鼓励创新思考

问题悬念是引发学生思考的关键,正如孔子名言“学而不思则罔,思而不学则殆”,问题悬念就是激发学生思考的起源,在认真分析教学内容与教学目标基础上,科学设置悬念,由它引导学生思考、分析、互助、交流与探究,深入分析数学知识,探索数学知识的奥秘.

课例展示《多边形的内角和》导入生成片断

片断1 回顾旧知,激发悬念.

提问回顾三角形的内角和和外角和,猜想多边形的内角和与外角和.

引导三角形的内角和等于180°,外角和等于360°.如图3的第1个图,可以通过作平行线,平移∠1,∠2,∠3到三角形的一个顶点处,得到一个周角,说明∠1+∠2+∠3=360°.例如过点C作CD//AB.

图3

悬念当边数增加时(如图3的第2、3个图形),多边形的内角个数、外角个数随之增加,多边形的内角和和外角和会随之发生变化吗?

(同学们自己思考、探究、猜想、伴以小组讨论)

片断2 全班交流研究的方法和成果.

(1)先研究内角和,后研究外角和.(先以四边形ABCD为例)

怎样研究?—作辅助线,将原多边形分成若干个三角形(如图4).

方法1 过四边形ABCD的一个顶点作对角线:

图4

再由四边形扩展到n边形(如图4).归纳出:过一个顶点所作的对角线条数等于(n−3);过一个顶点作对角线,将原n边形分成的三角形的个数为(n−2).所以n边形的内角和等于(n−2)180°.

方法2:在多边形的边上、形内或形外任取一点O(如图5),与各顶点连接:

图5

运用“三角形内角和等于180°”同样可得上述结论.由多边形内角和公式和多边形外角定义,易得:多边形的外角和等于360°.

(2)先研究外角和,后研究内角和.(先以四边形ABCD为例)

如图6,过C作CE//DA,CF//AB.则∠DCE=∠2,∠ECF=∠3,∠FCM=∠4.由周角定义可得:∠1+∠2+∠3+∠4=360°.即:n边形的外角和等于360°.根据多边形外角定义及“多边形的外角和等于360°”,易得多边形的内角和公式:多边形的内角和等于(n−2)·180°.

图6

课例解读开课阶段,教者首先从学生实际出发,引导学生回顾三角形内、外角和定理及其证明方法,但李老师接下来并没有按照常规做法,只要求学生按一个思路流程走下去,而是在教师设置的问题引领下,分了两条路径让学生自主选择适当的研究策略,充分发挥学生自主发展的能力,引导学生从问题个性中探求共性,寻求变异,多角度、多层次去构思、延伸、拓展,这样引导学生自主探究,有利于激活学生的思维,使学生的学力得到有效锻炼和提高,是一节有数学味儿的课堂,也是我们应该追求的前后一致、逻辑连贯的数学教学取向.且两种路径使学生认识到只要类比三角形的内角和定理及外角和的证明方法,通过添加辅助线,将其转化为三角形就可以解决新问题.这样做不仅让学生再次体会类比和扩展方法的使用,以及把复杂问题化为简单问题,化未知为已知的思维方法,而且使学生体验到事物的“对立和统一”、“矛盾与转化”的规律.

四、对多元导入策略实践的思考

这种筑巢引凤的多元导入策略应追求:

一是教师的教学设计过程中,应认真考虑课堂导入对于整节课的引领性作用.充分考虑课堂导入中的素材的延续性使用,尤其是在知识成功发生之后,再让学生用发生了的知识来解决课堂导入中提出的问题,这样的教学更具整体性.正如章建跃教授所说:“在课堂教学中,要以数学知识的发生发展过程和理解数学知识的心理过程为基本线索,为学生构建前后一致、逻辑连贯的学习过程,使他们在掌握数学知识的过程中学会思考.”事实上,作为课堂教学起点,不仅要考虑这一堂课内的逻辑连贯,而且要考虑整个章节、单元、学期甚至学段知识链上的逻辑连贯.“课例《等腰三角形》片断1”中,开课阶段引导学生回顾轴对称与轴对称图形的性质,正是引发学生关注整个知识链上的逻辑连贯.

二是课堂导入中的学生思维与知识发生中的学生思维的互通.在课堂导入的环节,学生的思维是最为活跃的,而且学生的参与度也是最高的,我们追求的有效教学就是让所有的学生都能参与而且都在积极思维.因此将课堂导入环节学生的积极思维有效地向知识发生的过程中延伸,那对改善数学学习生态,提升学生数学核心素养一定会有好处.