基于元认知的几何代数综合题的教学

广东省佛山市华英学校(528000)邱传林

如何构建解题方法,很多学者给出了自己的见解,如波利亚在文[1]中介绍使用“怎样解题表”,何小亚在文[2]中强调“表征问题”的重要性,涂荣豹在文[3]中阐述了解题中的元认知思想,等等.这些构建方法大多数是停留在理论上,并举少数例子进行阐述,没有针对数学的专题知识,提出具体方法.本文试图通过剖析“几何代数综合题”这一类专题的元认知结构,教授学生如何利用元认知知识,根据题目的设问,构建解题方法,最终解决问题.

元认知是“个人关于自己的认知过程、结果或与其相关的知识”,以及“为完成某一具体的目标或任务,对认知过程进行主动的监测及连续的调节和协调”[4].元认知包括元认知知识,元认知体验,元认知监控.在数学解题活动中,元认知知识包括关于主体数学认知特征的知识和数学认知材料与认知任务方面的知识.

几何代数综合题经常是中考的压轴题,难度大.学生在初三的第一轮复习后,在知识结构和思维结构上都有良好的基础,而对几何代数综合题的元认知结构的理解是模糊的.所以,在进行这一个专题教学时,首先要解决什么是这类题的元认知知识,然后是如何使用这些元认知知识,构建解题方法.

1 几何代数综合题的元认知知识

几何代数综合题包括几何知识和代数(主要是函数)知识,课本上出现的几何与代数的定理和定义,是认知特征的知识,属于这类题的元认知知识,包括三角形的相似,全等,直角三角形中的三角函数,平行四边形相关知识,一次函数,二次函数和反比例函数相关知识等等.除此外,下面的结论是几何代数综合题常用的,是认知任务方面的知识,故作为这类题的元认知知识.

结论1 中点坐标公式:在直角坐标系中,线段AB的中点M的坐标为其中xA,yA分别表示点A的横坐标和纵坐标,下同.

结论2 在直角坐标系中,线段

特别地,当AB//x轴时,AB=|xA−xB|;当AB//y轴时,AB=|yA−yB|.

结论3 在△ABC中,已知边AB和AC及锐角∠BAC的余弦值,则BC2=AC2+AB2−2AC·AB·cos∠BAC.

结论4 在直角坐标系中,如图1,点A坐标为(xA,yA),点B坐标为(xB,yB),直线AB的函数表达式为yAB,曲线c的函数表达式为yc,点P在曲线c上,设点P的坐标为(x,yc),则△ABP的面积为

图1

几何代数综合题在解题过程中,经常涉及到分类思想,下面总结一些常用的分类标准,作为这一专题的元认知知识.

分类1 动点P的运动路线是折线的,在转折点处进行分类.例如:点P在折线ABC上运动,则可分类为:①当点P在线段AB上时;②当点P在线段BC上时.

分类2 已知有一个角相等的两个三角形相似,根据相等的角的夹边不同的对应关系,分为两类.例如:在△ABC与△DEF中,∠BAC=∠EDF,且△ABC与△DEF相似,则可分类为:①当△ABC∽△DEF时;②当△ABC∽△DFE时.

分类3 一个三角形是等腰三角形时,按边的相等关系分为三类.例如:△ABC是等腰三角形,则可分类为:①当AB=BC时;②当AB=AC时;③当BC=AC时.

分类4 一个三角形是直角三角形时,按角的大小分为三类.例如:△ABC是直角三角形,则可分类为:①当∠ACB=90°时;②当∠ABC=90°;③当∠BAC=90°时.

分类5 以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,则可分为三类:①存在平行四边形ABCD时;②存在平行四边形ABDC时;③存在平行四边形ACBD时.

2 分析题干元认知知识,构建解题方法

学生在学习上面的元认知知识是孤立的,片面的,不知道如何使用这些知识,例题示范在教学中是必要的,也是重点.给定一个几何代数综合题,如何剖析题目,找到相关的元认知知识,并构建解题方法,是教学的难点,下面通过例子说明如何构建解题方法.

例1(2016·广东,25(3))如图2、3,BD是正方形ABCD的对角线,BC=2,边BC在其所在的直线上平移,将通过平移得到的线段记为PQ,连接PA、QD,并过点Q作QO⊥BD,垂足为O,连接OA、OP.

(3)在平移变换过程中,设y=S△OPB,BP=x(0≤x≤2),求y与x之间的函数关系式,并求出y的最大值.

图2

图3

分析属于元认知知识有:正方形ABCD,BP,AP,BQ(根据图形,分两种情形表示),△BOQ是等腰直角三角形,二次函数的最值;过点O作OE⊥BC,垂足为E.其中PB为已知线段,在△OBQ中,得所以本题的解题思路自然生成.

例2 (2016·青岛,24)已知:如图4,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,对角线AC,BD交于点O.点P从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为1 cm/s;同时,点Q从点D出发,沿DC方向匀速运动,速度为1 cm/s;当一个点停止运动时,另一个点也停止运动.连接PO并延长,交BC于点E,过点Q作QF//AC,交BD于点F.设运动时间为t(s)(0＜t＜6),解答下列问题:

(1)当t为何值时,△AOP是等腰三角形?

(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2),试确定S与t的函数关系式;

(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形OECQF:S△ACD=9:16?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;

(4)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使OD平分∠COP?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

图4

分析属于题干的元认知知识有:矩形ABCD,AP,PD,DQ,△APO∼=△CEO,△PDO∼=△EOB,△DFQ∽△DOC等.

(1)在△AOP中,AO与AP是已知的,∠PAO的余弦值也是已知的,由结论3,可得PO.根据分类3,△AOP是等腰三角形分三类:①AO=OP;②AO=AP;③OP=AP.根据线段相等,解方程即可.

(2)属于元认知知识有△BOE,△BCD,△ODC的面积,通过△DFQ∽△DOC得到△DFQ的面积,用割补法解决问题.

(3)由(2)得到函数关系式,根据比例列出方程,解方程即可.

(4)OD平分∠POC等价于点D到∠POC的两边OC与OP的距离相等,设这个距离为h,则这一个问题中,属于元认知的有:h,OP表达式,PD表达式.根据等积法,列出方程AB,解方程即可.

例3 (2016·昆明,24(2)(3))如图5,对称轴为直线的抛物线经过B(2,0)、C(0,4)两点,抛物线与x轴的另一交点为A.

(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点,设四边形COBP的面积为S,求S的最大值;

(3)若M是线段BC上一动点,在x轴是否存在这样的点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

图5

分析属于题干元认知知识的有:抛物线方程,△OBC,A、B、C点坐标,直线BC方程等.

(2)S四边形COBP=S△OBC+S△PBC,△OBC的面积是已知的,根据结论4,可求得△PBC的面积,问题解决.

(3)显然,点Q在射线BO上,∠OBC=∠QBM,根据分类2,Rt△OBC与Rt△MQB相似且有两种情况:①△OBC∽△MQB,②△OBC∽△QMB.设BQ=a,根据相似性质,可以得到BM,QM的长,从而进一步得到OM,CM的长.由相似的性质,得到∠CMQ≥90°,故△MQC为等腰三角形等价于CM=MQ,解这个方程即可.

3 结束语

数学解题是一个复杂的心理过程,元认知理论的应用,可以在备考教学时,有助于学生掌握解题策略,构建解题方法,从而避免题海战术,提高学生的思维水平和教学质量.

[1]波利亚.怎样解题[M].阎育苏译.北京:科学出版社,1982.

[2]何小亚.解决数学问题的心理过程分析[J].数学教育学报,2004,13(3):34-36.

[3]涂荣豹.数学解题学习中的元认知[J].数学教育学报,2002,11(4):6-11.

[4]Flavell J H.Cognitive Development:Children’s Knowledge about the Mind[J].Annual Review of Psychology,1999,50(1):21−44.