勿进宝山而空回—探究一道中考题解法的心路历程

广东省广东实验中学附属天河学校(510650)陈龙彬

解题的目的不是简单地得出正确答案,我们更应该自觉地进行解后分析,这样我们能够得到更多、更宝贵的东西.下面以一道中考题为例,说明解后分析的重要性.

1、题目呈现

例(2017广州中考)如图1,AB是⊙O的直径,弧AC=弧BC,AB=2,连接AC,

图1

(1)求证:∠CAB=45°;

(2)若直线l为⊙O的切线,C是切点,在直线l上取一点D,使BD=AB,BD所在直线与AC所在的直线相交于点E,连接AD.

①试探究AE与AD之间的数量关系,并证明你的结论;

2、题意的初步理解

(1)题目的条件是什么,一共有几个,其数学含义如何.

条件1:AB是⊙O的直径,即∠ACB=90°;

条件2:弧AC=弧BC,即可推出∠CAB=∠CBA或AC=BC;

条件3:AB=2,即可用于计算该图形中的线段长度;

条件4:直线l为⊙O的切线,C是切点,即OC⊥l;

条件5:BD=AB,D在直线l上,即D在以B为圆心,AB为半径的圆上,同时也在直线l上.

(2)题目的结论是什么,一共有几个,其数学含义如何.

结论1:∠CAB=45°,是一个特殊角.

结论2:AE与AD的数量关系,即证明AE=k·AD;

(3)题目的条件与结论有哪些数学联系.根据条件1与2可知△ACB是等腰直角三角形,从而证明∠CAB=45°.而根据条件5可知D点的位置有两种情况,如图2、3所示,由图可猜想,AD=AE,并且当D的位置确定后,的值也会确定.

图2

图3

面对证明线段相等的问题,根据已作出图形的结构可考虑证明△AED是等腰三角形.面对两线段的比值问题,中学的基本思路是:求出两条线段的具体值或利用相似三角形.本文着重对第(2)②问进行解法研究,并且只对图2这一情况进行分析与探究.

3、关于第(2)①问图2的解法

解过点D作DF⊥AB于点F,连接OC,如图4所示,因为AB=2,所以OA=OC=1,易证:四边形DFOC是矩形,所以DF=OC=1,所以BD=2DF,所以∠DBF=30°,因为BA=BD,所以∠BAD=∠BDA=75°,因为∠AED=∠CAB+∠DBF=75°,所以∠BDA=∠AED,所以AD=AE.

图4

4、关于第(2)②问图2的解法研究

基于第(2)①问的解答过程以及条件3,比较自然会考虑先将EB与CD的具体长度求出,然后再代入中即可求出答案.

图5

由解法1可知:EB=2CD,图3的情况也可以类似于解法1的思路求出EB=2CD,至此本题已经完全解决,但思考不能到此为止,两条线段的比值为“2”,而“2”在几何中是一个特殊值,如果结合含30°角的直角三角形来考虑,我们有以下解法.

解法2 过点E作EG⊥AB于点G,连接OC、GC、BC、如图6所示,因为AB是⊙O的直径,所以∠BCE=90°,所以∠EGB=∠BCE=90°,所以E、G、B、C四点共圆,且EB为该圆的直径.由(2)①可知:∠DBA=∠DAC=30°,所以∠CBE=15°,所以由圆周角定理可知:∠EGC=∠CBE=15°,所以∠CGB=∠DAG=75°,所以AD//CG,因为AG//CD,所以四边形ADCG是平行四边形,所以CD=AG.因为∠CAB=45°,所以AG=GE=CD,所以EB=2GE=2CD.

解法2的妙处是利用平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质把CD转移到GE,然后利用含30°角的直角三角形的性质从而得出EB=2GE.而在解法1和解法2中,我们应该注意到∠DAC=∠EBA,∠DCA=∠EAB,我们有以下解法.

图6

解法3的关键是∠DAC=∠EBA,∠DCA=∠EAB以及AD=AE,而这些结论都是从(2)①中证明过程所获得,从解法3也可以看出命题者设置第(2)①小问的意图.而两条线段的比值为“2”还可以与中点联系,我们有以下两种解法.

解法4设EB的中点为F,过点E作EG⊥AB于点G,如图7,设GE=x,所以易求得:AE=EF=x,所以AE2=EF·BE.因为∠AEF=∠BEA,所以△AEF∽△BEF,所以∠EAF=∠EBA=30°,∠EFA=∠EAB=45°.因为∠DAC=∠EAF=30°,∠DCA=∠EFA=45°,AD=AE,所以△ADC∼=△EAF(AAS),所以

图7

解法5 设EB的中点为点F,连接CF、BC,如图8.因为AB是⊙O的直径,所以∠ECB=90°,所以由(2)①可知:∠CBD=15°,∠CDB=30°,所以∠FCB=15°,所以∠CFD=∠FCB+∠CBD=30°,所以

图8

解法4与解法5的妙处在于找出EB的中点F,然后利用全等三角形的性质或直角三角形斜边上的中线性质得出EB=2CD,实际上这两种解法相当于“截长”.于是我们有以下“补短”的解法.

图9

解法6 延长DC至点F,使得CD=CF,连接BF、OC,如图9所示因为OC⊥AB,所以由对称性可知:∠FBA=∠DAB=75°,所以∠FBD=∠FBA−∠EBA=45°.因为∠FDB=∠EBA,∠FBD=∠EAB=45°,BD=AB,

5、解题的自觉反思

通过本题我们可以发现,教师在解决压轴题时,应当自觉进行反思,这样可以获得更多解法,同时通过一题多解也可以提高对本题的认识.因此教师在平常的教学中可以引导学生进行解后反思,培养学生分析问题,探究问题,解决问题的能力,同时还能培养学生的创新精神,提高学生的数学思维能力.