“说数学”在初中教学中的应用案例探究*

2018-03-02 09:16:20广东省广州市铁一中学510600齐美丽
中学数学研究(广东) 2018年4期
关键词:说数学轴对称思路

广东省广州市铁一中学(510600)齐美丽

《义务教育数学课程标准》(2011年版)在课程总目标中明确指出:发展合情推理和演绎推理的能力,清晰的表达自己的想法;体验解决问题方法的多样性,发展创新意识;学会与他人合作交流;初步形成评价与反思的意识;积极参与数学活动;养成勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯.“说数学”活动正如云南师范大学数学科学院的朱维宗老师认为的“说数学是个体用口头表达自己对数学问题的具体认识、理解,解决数学问题的思路、思想和方法以及数学学习的情感、体会的数学学习活动,是数学交流的重要形式之一.”“说数学”活动可分为“说知识”、“说异见”、“说过程”、“说体会”四个部分.可见“说数学”活动为以上目标的达成起到积极的作用.本文以一节数学课为例,谈谈自己对“说数学”的一些认识.

一、案例描述

这是学完《旋转》后令我印象深刻的一节课,按常规我们都会在每周四有一节数学习题课,用来解决学生在这一周作业中存在的问题,并补充一些题目给学生完成,其中补充了如下一道题:

如图1,△ABC是等腰直角三角形,C是直角顶点.操作并观察:将三角尺45°角的顶点与点C重合,使这个角落在∠ACB的内部,两边分别与斜边AB交于E、F(CE不与CA重合,CF不与CB重合),然后将这个角绕点C在∠ACB内部旋转.

图1

探索AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形?若能,试给出证明;若不能,请说明理由.

做题之前提问学生:“我们学过的变换有什么?”学生们回答“平移、旋转、轴对称、相似”.我接着说“要是能把这些思想用到解题中,不知道会有什么效果?”一开始,让学生先思考,讨论,最后在老师的提示下:将△CBF绕着点C顺时针旋转90°得△CAG,(或将△ACE绕着点C逆时针旋转90°)如图2,有BF=AG,∠GAC=∠B=∠CAE=45°,所以∠GAE=90°,再证△CGE∼=△CFE,就有EF=EG,从而将AE、EF、FB转化到同一个直角三角形中,完成证明.

图2

这时学生1忽然举起手:

“老师,我用轴对称也能证出此题.”其他同学惊奇的看着他,我马上说:“好,你拿来给老师先看,其他同学利用轴对称这种变换,看如何证明?”

两分钟后,就有好几个同学也证出来了,显得非常兴奋,学生2自言自语:“这么神奇!”

最后由学生1给大家讲解了他的证明过程:

作点A关于直线CE的对称点G,如图3,有AE=EG,∠CGE=∠CAE=45°,再证△CGF∼=△CBF,就有BF=FG,∠CGF=∠B=45°,从而将AE、EF、FB转化到同一个直角三角形中,完成证明.

图3

我马上给予评价:“思路非常好,我们给他鼓鼓掌.”

看着大家这么兴奋,接着我继续问:“既然两种变换都可以解决此题,请大家通过对比,分析两种证法的异同.”

学生3说:“老师,这两种变换都没有改变图形的形状和大小.”

学生4说:“老师,它们都能将三条线段转化到一个三角形中.”

学生5说:“老师,这两种方法都用了两次全等.”

学生6说:“老师,这两种方法都很神奇,觉得数学真是奇妙.”

学生2补充到:“其实这两种方法的实质是一样的.”

······

一阵热烈的讨论后,我说:“我把你们的想法总结一下:在解题中,为了将已知条件相应集中,或为了寻求求证与已知条件的联系,需要对图形进行全等变换,这样虽然图形的位置变化了,但图形的形状和大小都没有发生变化,这就为我们研究图形提供了方便.你们觉得是这样吗?”

“没错!”大家异口同声回答.我接着说:“那今天回家我找一个可以用变换思想来求解的题目,明天来考考大家.”“好!”学生们很爽快的就答应了.

就这样,跟以往单纯的讲题相比,本节课多花了10分钟时间让学生在老师提示的解题思路的基础上继续思考,用不同的方法来完成,比较两种解题方法的异同,总结解题的思路.一节课下来,老师讲的题量少了,学生“说”的多了,也“做”的多了.

随后在一次小测验中,有下面一道题:

如图4,等边△ABC中有一点P,若PB=2,PA=4,求△ABC的边长.(提示:用变换的思想完成)学生的准确率非常高,从而可见上课多用10分钟的作用.

图4

二、案例分析与讨论

(一)、“说数学”能调动学生的学习兴趣

“说数学”使学生更加认识到数学交流的作用,师生之间、生生之间思维得以碰撞,思想得以交流,极大地调动了学生的学习兴趣.如案例中的学生1说完自己可以用轴对称的思想来证明题目后,学生们纷纷动笔,很快证出结果的学生2,在同学们发言后积极的补充,可以看出他最活跃的成分被调动起来,积极的思考、比较,收获满满的成就感.

2011年版的《义务教育数学课程标准》在课程基本理念中提到,教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程.有效的教学活动是学生学与教师教的统一,学生是学习的主体,教师是学习的组织者、引导者与合作者.而传统的课堂,以老师讲、学生听为主,严重的影响了学生学习的积极性.心理学研究表明:“人的思维,特别是抽象思维,与言语密不可分”.语言是思维的载体,中学生正好处在青春期,这个阶段学生上课普遍比较沉默,不愿意、不敢发言,怕出错引来同学嘲笑,而此时初中数学对抽象思维、逻辑思维要求又比较高,所以调动学生在数学课堂上能积极的“说数学”非常有必要,如案例中在教师的引导下,学生1通过积极的思考,说出自己的解题方法,并对比两种解题方法的不同,学生们说出两种解法的异同.当师生之间、生生之间思维火化得以碰撞,思想得以交流,形成一种共鸣,成就感油然而生,学生自然会很兴奋,思想会高度专注,愿意分享自己的想法,极大地调动了学生学习数学的积极性,以后再遇到这类题目,他们乐于去研究,变“要我学”为“我要学”.如案例中的学生2、学生6在学生1的发言后,发自内心的感慨数学的奇妙,感受数学的一题多解,体会到使用不同的变换方法解决同一问题,最终殊途同归,极大地调动了学生学习的积极性,促进了学生“我要学”.

(二)、“说数学”有利于开发学生的思维,增强学生的学习能力

严佩红认为,在数学课中,把握好“说”的训练,精心设计数学语言的阶梯,使学生在学习数学知识的同时,语言思维得到同步发展,体现以思维为核心、学生为主体、教师为主导的精神,让学生从被动地接受学习中解脱出来,踏上主动探索问题的征程.由于应试教育的影响,往往数学课多是老师讲,学生听;老师讲例题,学生模仿做练习,比较重视学生的书面表达.笔者越来越感觉现在的学生虽然每天都在辛苦的刷题,但举一反三的能力越来越弱,也就是学习能力越来越弱.如何扭转这种现象呢?以做题为例,笔者认为会做题,不代表会讲题,会讲题比会做题要求更高,要能理清解题思路,用到的知识点熟记于心,讲完题后的小结反思更是对知识的升华,更好的理解掌握知识点之间的联系与区别,可以触类旁通,“说异见”、“说体会”就是大胆的说出个体对知识、对问题的不同看法,对所运用的知识、解题思路、思想方法的总结、反思,对开发学生的数学思维,提高学生的学习能力起到积极的作用.如在以上述案例中,学生们通过两种变换的比较,从所涉及到的知识点、辅助线的做法,到整个解题思路的形成,向学生诠释了类比思想的重要性,更好的掌握了旋转变换和轴对称变换思想的实质,精髓,而且第二种证法是学生自己通过与旋转变换证明过程的比较,独立完成,并能清晰的表达出来解题思路,达到举一反三的效果.

(三)、“说数学”能促进师生、生生之间的沟通和交流,培养学生的合作精神

我国在2011年版的《义务教育数学课程标准》中把“学会与他人合作交流”作为总目标之一.随着社会的发展,与人合作的重要性越来越凸显出来,愿意与人分享、愿意与人合作,也乐于接受他人好的建议和方法,在合作中不断进步,可以说没有合作就没有成功.而我们目前的中学生,大多是独生子女,从小在长辈们的呵护下、在应试教育中长大,从小与人合作的机会比较少,合作的意识不强.“说数学”正好可以培养学生的合作精神,老师通过学生“说数学”可以更好的了解学生对数学知识的掌握情况,存在问题的原因,这也正是好多学校提倡老师对学生作业进行“面批”的原因.学生在同伴“说数学”的过程中了解别人对问题的理解和切入点,取长补短,学习同伴好的做法,不断优化自己的学习.如案例中老师提问:“既然两种变换都可以解决此题,请大家通过对比,分析两种证法的异同.”时学生们争先恐后的回答,同学3、4、5、6都从不同的角度回答,在同伴的答案中,互相启发、互相讨论、互相完善,最后很完整的总结了老师的问题,在互相合作中收获了知识,收获了友谊,懂得了在合作中共同进步.在不断的合作学习中体会到合作带来的益处,有利于合作意识的培养,有益于学生的长远发展.

(四)、“说数学”能增强学生分析问题、解决问题和数学语言表达的能力

学生在“说数学”的过程中首先要弄清楚知识点、题目所给的相关信息,大脑快速搜集涉及到的知识点,通过自己的加工、处理,提取有用的东西,清晰有条理的表达给别人.为了说的更清楚,别人更容易接受,就必须对知识知其然,知其所以然.如上述案例中,学生要想清晰地把用轴对称知识来解决该题目的思路说出来,看到题目就需要清楚:(1)快速联想到图形变换的几种常用方法:平移、旋转、轴对称、中心对称,才能很快由第一种方法的旋转联想到轴对称;(2)理解这几种图形变换的实质:改变图形的位置,不改变图形的形状、大小,即用到全等知识;(3)根据题目最终要判断三条线段组成的三角形的形状,而这三条线段在同一直线上,所以要快速想到转化的思想,知道本题的重点是要将同一直线上的三条线段转化到同一个三角形中,才能具体判断三角形的形状;(4)全等的判定;(5)辅助线的做法.然后通过加工一步步说出解题思路和过程.由审题、到快速搜集用到的知识点,经过大脑的一步步加工,最后能清晰的表达出解题思路和过程,长此以往,就会形成一定的数学思维模式,学生的分析问题、解决问题的能力自然就会提高.同时还要清楚清晰的表达出来,锻炼了学生的语言组织能力和口头表达能力.

总之,在以后的教学中要更加重视学生“说数学”,不断的创设机会让学生“说数学”,为学生数学综合能力的发展打好基础.

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