基于“活动体验”拓展儿童的数学思考

【摘 要】數学教学要正确处理好“动手”与“动脑”的关系，让学生的数学学习以活动为载体，由活动体验拓展数学思考。拓展数学思考的内在机制有初级阶段和高级阶段两种，分为“自然生长”“板块对接”“螺旋回升”三种模式。在教学实践中，教师可以通过活动生成体验来酝酿数学思考，以问题架构桥梁来启迪数学思考，以反思促进发展来提升数学思考，帮助学生由理性思维逐步走向理性精神。

【关键词】活动体验;数学思考;理性精神

【中图分类号】G623.5  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2018）89-0031-05

【作者简介】王海燕，江苏省东海县和平路小学（江苏东海，222300）教导主任，高级教师，江苏省“333高层次人才培养工程”培养对象，江苏省教育工作先进个人。

基础教育数学课程的育人目标并非是将每个学生培养成数学家，而是要让学生学会数学思考。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“课标”）将原有的“过程与方法”目标，分解为“数学思考”与“问题解决”两个方面，这充分彰显了数学思考在教学中的重要价值。课标指出：“义务教育阶段数学课程的设计，充分考虑本阶段学生数学学习的特点，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发数学思考”。对于小学阶段的数学教学而言，以活动为载体，依托儿童在活动中的感受与体验拓展数学思考，是教学目标达成的重要路径。

一、“活动体验”与“数学思考”的内涵及其关系

学生的数学学习是在活动中建构、发现和创造的过程。它基于活动体验但又不能仅停留于体验层面，必须以活动体验为基础，引导学生迈向触及深度学习的数学思考。

（一）活动体验的缕析

活动是数学学习的重要基础和过程表达。体验是学生亲身经历数学活动过程，并在数学活动中获得的个性化感受和理解，是数学学习的内在过程。“活动”与“体验”相互交融，构成了学生数学学习的“活动体验”。活动体验以经验为基础，立足于精神世界，具有过程性、亲历性和不可传递性。体验是学习者带有感情色彩地对数学经验进行回味、反刍和体味，是对数学经验的升华和超越，它包括操作活动体验和思维活动体验。

（二）数学思考的定位

有研究者认为，数学思考是学生“在面临各种问题情境时，能够从数学的角度去思考问题，能够从中发现所存在的数学现象并运用数学的知识与方法去解决问题。”“数学思考”不同于“思考数学”，思考数学侧重点在“数学”，指向数学活动本身，着力于数学问题的解决，而数学思考侧重点在“思考”，而且是从数学角度展开思考，指向学生思维发展。数学思考一方面依托数学知识技能学习，在解决问题过程中展开，另一方面又不以知识技能的掌握、数学问题的解决为唯一标志。因此，“数学思考”比“思考数学”更具有一般性意义。

（三）相互关系的考量

“活动体验”与“数学思考”有明显的区别：活动体验是感性的，数学思考则是理性的;活动体验具有个体性特点，而数学思考则具有数学化特征;活动体验是较为浅表的个体感受，数学思考则是触及深度思维、个体认知、内在情感甚至是价值观念的深度学习活动。

活动体验与数学思考是学生数学学习过程的不同阶段，两者缺一不可。活动体验是数学思考的前提与基础，数学思考是活动体验的提高与升华，没有活动体验的数学思考是空洞、抽象、难以理解的，没有深入思考的活动体验是零散、肤浅、缺乏数学味儿的。数学学习正是由感性到理性，由肤浅到深刻、由零散到系统的渐进过程。

二、基于“活动体验”拓展儿童数学思考的内在机制

建构主义学习理论表明，学习是学习者根据自己的经验背景，对外部信息进行主动选择、加工和处理，对所接受到的信息进行解释与应用，从而生成个人的意义或自己的理解。从外部信息到内在理解，因学习者的自身差异而形成了富有个性的学习结果，但是学习发生的过程却经历了大致相同的阶段（如图1）。

（一）初级阶段：从情境引入到活动感知

小学阶段，数学学习对象一般通过情境呈现给学习者，学习者依靠眼、耳、手等感官获得对对象属性的初步感知，形成部分信息材料。这些信息材料由学习者主动获取，自然进入学习者的认知系统中，表现为以非言语信息为载体的活动体验。学生初级阶段的活动体验与感知未经过逻辑加工，尚未形成结构性的理解与认识，呈点状分布。数学思考在这一阶段表现为材料积累、整合和简单加工，一旦获取适合的刺激源，大脑皮层便会产生相应的刺激反应，进入到更高阶段的思考层级。

（二）高级阶段：从信息提取到逻辑加工

当大脑皮层受到刺激后，学习个体会主动调取相关表象、信息、记忆，依靠思考、推理、想象等思维活动，对进入认知系统的非言语信息及其它信息进行多次逻辑加工与整合，不断刺激思维联结点，产生信息的重组与反应。学习在这种螺旋过程中逐步形成和优化，从而获得对学习对象的结构性理解与把握，形成学习个体关于学习对象的言语信息和非言语信息。这一阶段，认知由点状材料加工为块状信息，线状单向思维模式转变为网状多向思维方式，从而完成数学思考的过程。

（三）拓展儿童数学思考的三种模式

从活动体验到数学思考是隐性的思维加工过程，尽管因人而异，可能产生不同的思维结果，但这个过程却存在一些可以梳理和把握的形式或规律。依据教学内容和活动形式的不同，结合儿童的思维差异，可以拓展出儿童数学思考的方式大致有以下三种，如图2-4所示。

1.自然生长式。

单一的知识点教学活动指向比较明确，学生在经历活动的过程中会获得深刻、丰富的感受或体验，在单一指向性与充分体验性的双重作用下，活动体验与数学思考之间的垂直距离逐渐缩小，数学思考便会自然生长出来。

2.板块对接式。

不同内容之间会存在内在逻辑关系，学生不易察觉与发现，难以理解与消化。通过外力作用启发学生数学思考，可以实现“活动体验”与“数学思考”两个板块的碰撞与对接，促进学生感悟知识之间的联系，使得活动体验数学化，数学思考体验化，达到二者的融合与深化。

3.螺旋回升式。

在比较复杂的研究性学习中，数学思考与活动体验往往交织在一起。学生的活动体验走向数学思考后，便会产生新的问题，学生带着新问题再次进入活动，深入观察、比较、分析、概括，不断丰富活动体验，逐步优化和提升数学思考，从而促进指向问题解决的数学思考能力螺旋上升。

三、基于“活动体验”拓展儿童数学思考的实践路径

笔者立足活动设计、问题引领、自主反思，从不同维度追本溯源，由外部影响向内部因素生发，探究拓展儿童数学思考的实践路径。

（一）以活動涵养体验，酝酿数学思考

活动体验是数学思考的土壤，数学活动不能仅停留于“动手”层面，而要将其作为数学学习的载体，进行优化设计和有序组织。这里的活动既包括具体的实务操作，也包括游戏比赛、数学计算等数学活动。

1.对比设计，于横向关联中刺激体验，让数学思考“生根”。

单一性数学活动，其形式与内涵较多融合在一起，受形式干扰，学生不易从活动中获得对数学的认知与体验。比较是数学学习的重要方式，可以将单一性活动转化成具有横向关联的对比性活动群组，帮助学生在对比中获得不同感受，产生丰富体验，从而刺激大脑皮层，自然展开数学思考。

例如：教学苏教版六下“动手做”板块中《有趣的平衡》一课，教师可以在课始设计“直尺平衡”与“钢笔平衡”两个操作活动，将质量比较均匀的直尺和两端质量明显不等的钢笔分别放在食指上，使其保持平衡，在活动中观察记录手指的位置。学生通过操作、观察、比较，感受到两次平衡活动中手指位置的不同，有效激活了学生的生活经验，促进学生自主思考“手指位置为什么不同”“平衡与哪些因素有关”，从而形成对平衡现象的初步感知。

2.分层展开，于纵向深入中强化体验，让数学思考“萌芽”。

学生的数学思考是一个纵深发展的过程，这个过程伴随活动展开而展开。因此，活动设计不仅可以横向关联，还可以纵向深入。通过一组相同类别但不同层次的活动序列，由浅入深、由表及里、由粗到精、由扶到放逐步展开，帮助学生不断积累活动经验，打开数学思考，形成对数学知识的自主理解与建构。

仍以《有趣的平衡》教学为例。在探究平衡规律时，教师组织了三次活动，第一次活动探究“左侧第3孔挂2颗同样的珠子，右侧怎么挂珠”，学生通过实验发现了多种挂珠方法，进而组织学生比较总结，发现两端孔数与珠数的变化规律。第二次活动调整左侧珠的颗数，探究“左侧第3孔挂3颗珠，右侧怎么挂珠”，进一步感受孔数与珠数的变化，同时获得对“孔数与珠数乘积不变”的感知。第三次活动再改变左侧离中心点的孔数，探究“左侧第4孔挂3颗珠，右侧怎么挂珠”，引导学生基于前两次活动体验来推理，最后实验验证，从而获得对规律的整体性理解和把握。三次活动层层深入，有效促进了数学思考的“萌芽”。

3.交错推进，于综合融通中丰富体验，让数学思考“生长”。

以横向或纵向视角观照活动，我们会发现，有些活动之所以能够引发学生的数学思考，并不是简单以横向或纵向的方式呈现，而是既有横向对比的活动，又有纵向展开的活动，纵横交融，密不可分，构成了整体性的活动系统。将数学学习置放在多空间、多维度、多层次的活动系统中，使得数学思考自然卷入其中。

以特级教师俞正强执教的《用字母表示数》为例。俞老师抓住用字母表示数的本质内涵，设计了往袋中装粉笔的活动，先在“看见”和“看不见”的情况下分别往袋里装粉笔，让学生用数表示袋中粉笔的数量，形成横向活动对比，使学生体验在“看见”情况下可以用确定的数表示，从而思考“不确定的情况下如何表示袋中粉笔数量？为什么袋中粉笔的数量不是0、100等数字？”然后将活动引向纵深，出示另一种颜色袋子并用字母表示其中粉笔数量，启发学生进一步思考“两个袋中粉笔数量都不确定时，如何用字母表示？给出两个数量之间的关系后，如何更好地表示另一袋中粉笔的数量？”促使学生进一步理解用字母式子表示数量的方法和好处。交错推进的活动使学生的数学思考自然展开，抽象数学便“无声”地植根于学生的认知结构之中。

（二）以问题架构桥梁，启迪数学思考

美国数学家哈尔莫斯以“问题是数学的心脏”强调问题对数学的重要作用。数学思考离不开关键问题的引领。教学中，当学生有活动体验，但未触及数学思考时，教师要及时准确地找到数学思考的“最近发展区”，通过适当提问，打通活动体验与数学思考的通道，将学生思维引向深入，引导学生逐步养成自我提问的习惯。

1.在“是什么”的发问中归纳总结，促进数学思考从模糊走向清晰。

数学学习不能仅满足于结论的获得，更不能将结论作为一种数学规定，简单机械地强加给学生。教师要引导学生在充分感知、体验的基础上，用自己的方式进行表达。教师要善于进行“是什么”的发问，引导学生及时将活动体验转化为数学思考，并促进数学思考由模糊走向清晰。

例如：在教学苏教版四下《三角形的认识》时，为了让学生建立“高”的概念，教师先让学生基于对“高度”的理解，尝试画出三角形的高，使高的生活经验转化成数学活动体验，在头脑中留下清晰的认知表象。然后通过展示、交流、评价不同的画法，不断激活学生活动体验，获得对“三角形的高”的初步理解。进而追问“什么是三角形的高”，让学生用自己的语言表述高的概念，通过同伴之间相互交流与补充，建立清晰完整的概念。在这个过程中，“是什么”这一问题是引领学生深入探究的旗帜。

2.在“为什么”的追问中合理解释，促进数学思考从浅表走向深层。

人们在认识世界时，如果只满足于对常识的感知和了解，会思维固化，因而要善于追问“为什么”。“为什么”是对既有认知的追问，是深入理解知识的重要路径。教学中，教师要通过抛出“为什么”的问题，引导学生对既有结论进行深度思考。

例如：教学苏教版五下《圆的认识》，在探究圆的特征时，学生通过画一画体验到同一个圆内半径有无数条，且都相等。此时，教师提出问题“为什么圆内有无数条半径且相等，能否给出合理的解释或说明”，学生以“圆上有无数个点”来解释“同圆内半径有无数条”，以“定长”说明“同圆内半径都相等”，深刻理解了圆的概念、画圆方法与圆的特征之间的内在联系。在“无疑处生疑”是数学思维品质的体现，教师应主动提问“为什么”，适时引导学生自问“为什么”，帮助学生养成自问自究的习惯。

3.在“还可以怎样”的再问中推理延展，促进数学思考从单一走向系统。

教学是一个开放的、互动交往、共同提高的过程，现代教学要打破传统课堂中封闭式的教学方法，还给学生应有的思维空间和话语权。学生有其独特的思维方式，常呈现出儿童视角下的思维结果。当学生提出一种或几种思考结果时，教师可以通过“还可以怎样”的追问，让学生的数学思考继续延展，在此基础上丰富学习素材，整合不同结果，梳理内在联系，使数学思考从点生发，形成脉络，进而由单一逐步联结成系统。

例如：教学苏教版六上《分数除以整数》，在探索“4/5÷2怎样计算”时，学生起初产生预设中的两种不同算法：一种是分母不变，分子除以整数的商做分子;另一种是将除法转化为乘法。此时，教师可以提出问题“还有不同的算法吗”，学生独立思考，找到了常规方法之外的第三种方法，先将4/5化成小数0.8，用0.8除以2得0.4，再将小数0.4化成分数结果2/5。在“试一试4/5÷3怎样算”时，学生面对无法转化成小数解决问题的现实情境，想到了将4/5转化成12/15，用12/15÷3的方法。可见，问题给学生的思维空间越大，课堂生成的精彩就越多。

（三）以反思促进发展，提升数学思考

美国诗人金斯伯格在谈及数学教学时说：“真正的数学头脑是思维的头脑，是内省的头脑，这也正是学校应当教学生的东西。”按照荷兰数学教育家弗赖登塔尔的观点，“只要儿童没能对自己的活动进行反思，就达不到高一级的层次”。一般意义上，反思是主体对经历过的或正在经历的事件进行回顾、剖析、内省，达到对事件的进一步认识。数学学习中的反思是主体数学思考的自觉表现，是学生从活动体验到数学思考的自主跨越。在活动体验与数学思考的交织中，反思如同“黏合剂”，弥散于数学活动过程中，促进数学思考由外在启发到内部生发。

反思不是先天就有的，而是后天逐步养成的。教师在教学中要注意留给学生反思的时空，指导学生回顾活动过程，交流活动体会，评价活动成果，纠正活动错误，实现从知识学习到方法的提升。教师要指导学生学会在活动中“停下来”，思考“为什么这样做”“这样做对吗”“怎样做得更好”等问题，让学生逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地思考，发展思维的敏捷性、深刻性、批判性和创新性。

总之，数学教学既要充分考虑儿童认知规律，让学生在生动丰富的活动中“动手”，更要体现数学学科特点和其特有的育人价值，为儿童提供数学思考的时间和空间，帮助学生学会“动脑”，自主建构对数学的理解，培养良好的数学思维品质。只有正确处理好“动手”与“动脑”的关系，逐步指导学生学会数学思考，自觉进行数学思考，才能让学生变得聪明、智慧，进而学会思维，并能由理性思维逐步走向理性精神。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]應海江.小学数学教学应从“思考数学”走向“数学思考”[J].中小学教师培训，2009（3）：41-43.

[3]郑毓信.新数学教育哲学[M].上海：华东师范大学出版社，2015.

[4]俞正强.种子课：一个数学特级教师的思与行[M].北京：教育科学出版社，2013.

[5]郑毓信.以“深度教学”落实数学核心素养[J].小学数学教师，2017（9）：4-7.

[6]席爱勇.多元表征学习：让数学学习深度发生[J].教学月刊，2017（7-8）：81-84.

[7]顾长明.做中学：在“动手”与“动脑”间追寻[J].中小学教师培训，2013（8）：30-33.

[8]王海燕.回到“儿童”原点，重构“学”的课堂——儿童本体资源开发的实践建构[J].小学教学研究，2017（23）：9-12.