为学生主动探究搭建阶梯

于庆

摘 要：随着新课程改革的深入实施，探究式的教学方式越来越成为高中数学教学的最佳方式。那么，如何在高中数学课堂上引导学生主动探究呢？文章以《点到直线的距离》为例，结合课堂教学实践，就如何科学设置阶梯，提升学生的探究能力，有效实施数学探究谈谈自己的思考与教法。

关键词：高中数学;探究教学;课堂教学实践

中图分类号：G633.6

文献标识码：A

随着高中数学教育改革的不断深入，探究式的教学方式成为数学课堂教学的最佳方式。探究式教学是指以探究为主要活动形式的教学，高中数学探究式教学是在教师主导下，学生采用自主探究、合作学习的方式探求数学结论，归纳出数学规律，最后教师再设置具体的问题情境，引导学生在解决具体的问题的过程中完成知识的内化与巩固[1]。

与传统教学相比，探究式教学耗时耗力，但是，正如艾伦·科林斯所说：“让学生探究的教学，是一种费时的教学，但如果我们的目标是培养学生创造性地解决问题和发现理论，那么这是我们所拥有的唯一方法。”[2]由此可见，虽然探究式教学应用于实际课堂教学时，可能会浪费很多课堂时间，达不到教师预想的教学效果，导致课堂教学任务无法完成，但是磨刀不误砍柴工，学生数学素养的全面提升必然体现在创造性思维和自主探究能力的培养和提高上，因此，数学教师十分有必要在课堂教学中努力实践探究式教学模式。

探究式教学要求教师在时间分配、语言引导等方面精准把握，这就需要教师在教学实践中不断提升自己的教学技能，丰富相关的知识储备[3]，思考并创造具有教学价值的适于数学课堂探究的问题，丰富自己的数学课堂教学经验。本文以《点到直线的距离》为例，结合本人的教学实践探索，谈一谈如何在引导学生探究的过程中为学生科学设置阶梯，让学生主动进行探究，发展学生的探究技能与探究能力，提升探究性课堂教学的有效性[4]。

《点到直线的距离》是人教版数学必修2第3.3.3节，主要内容是点到直线的距离公式的推导以及公式的应用。本节内容在解析几何中具有十分重要的意义与地位，是培养学生的计算能力和逻辑思维能力的重要内容。在此之前，学生已经学习了直线方程和两点间的距离公式，会求两直线的交点坐标，等等。本节课的难点和重点是公式的推导，而推导方法是丰富多彩的，其蕴含的思想也是深刻的，教材中提供了两种推导公式的思路，如何在一节课中让学生既能了解这两种推导方法，又能领悟其中的思想呢？

我将以“教师为主导，学生为主体”，采用“师生互动”为基础的“类比探究式课堂教学模式”，从学生熟悉的生活情境导入，按照从具体到抽象、从特殊到一般的思维方式，引导学生探索点到直线距离的求法。同时，要求学生课前利用课本和网络资源自主预习，课上学生自主合作交流，共同探讨对比两种推导方法的异同，体会思路一虽然易想但是难求，思路二过程复杂但是更易操作。如此一来，学生不但深刻记住了点到直线的距离公式，并且亲自体验了优化公式推导思路的意义，从而进一步认同了数形结合思想，并提高了转化、分析和解决问题的能力。

一、情境引入

（1）生活情境：如果你家住在一条笔直的小河边，你要去河边打水，从你家到河边的最短路程是多少？

（2）问题导学：①什么是点到直线的距离？②如何求点到直线的距离？③你能想到几种不同的方法？

施教之功，贵在引导，妙在开窍，教师要引导学生发现学习情境中的数学问题，促使学生自主学习相关的数学知识[5]。我从生活中的实例导入是为了挖掘数学学习中生活层面的特征[6]，课堂情境的巧妙创设能吸引学生的注意力，借此有效激发学生主动探究的意愿，拉近数学与生活的距离，让学生体会数学与生活的联系。先是生活情境，然后是问题导学，这是为了明确点到直线的距离的概念，用问题引领学生积极思考。

二、特例探究

问题1：求点P（1，2）到直线l：x-y-2=0的距离。

此处我先设计一道特例探究的题目，正是考虑到学生由易到难、从具体到抽象、由特殊到一般的思维习惯，更加符合学生的认知规律。避免直接给出含有字母的任意点的坐标和直线的一般式方程，让学生一时无从下手，这样只会打击学生探究数学新知识的积极性。因此，我先给出问题1，并让学生充分表达自己的解题思路。设计问题1的目的一是讓学生巩固已学的知识和方法，二是为后面的公式推导作铺垫。

预设学生能说出思路一：先求过点P的l的垂线l'的方程;再联立l、l'求交点即垂足Q的坐标，最后用两点间的距离公式求出│PQ│。这种解决问题的方法相信学生稍加思考就能马上说出来，学生说出思路以后，教师可以先和学生一起呈现解题的流程图，并及时予以解题思路简单自然的评价，然后让学生动手完成具体的计算。思路一的优点是简单清晰，缺点是运算量大，大在求交点上。这里让学生实践自己的想法，有两个目的，一是让学生进一步熟悉解析法的计算过程，二是更多的学生在较短时间内很难得到正确的答案，让学生在具体计算的过程中自己发现这种解法的缺陷，激起学生寻求其他更优解法的欲望，进一步思考如何化繁为简。我继续引导学生探求其他解法，逐步提问，层层深入。在探究教学中，教师要优化引导方法，促使学生主动探究数学知识，从而提高教学效率[7]。

思路二：等面积法。

（1）必须求点Q的坐标吗？

（2）还有其他求线段PQ长度的方法吗？（引导学生想到构造直角三角形）

（3）直角三角形如何构造最简单？

教师的恰当指导与介入为学生主动探究铺设台阶，通过三个层次的问题促使学生进行深入探究。在实际课堂教学中，学生可能会提出多种构造方法，教师应鼓励学生积极表达自己的观点，同时引导学生思考不同构造方法的优缺点，也可留作课后思考，布置研究性作业，具体视课堂情况灵活处理。本节课只对等面积法重点分析，它的缺点是思考较难，优点是容易求交点，运算简洁。

三、类比推导

问题2：求点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）的距离。

在解决特例问题1的基础上，自然而然提出问题2，将点和直线的距离从特殊推广到一般情况，并引导学生用等面积法进行推导，同样的，教师一定要引导学生理清等面积法推导点到直线的距离的算法思路，然后师生合作用算法图把思路写出来，渗透算法思想。最后，再由学生自己写出点到直线的距离公式的详细证明过程，这样能够有效培养和提高学生的推理和论证能力。

四、应用提高

学生初步应用公式解决例1：求点P（-1，2）到直线l：3x=2的距离。

在此，要求学生再利用推导出的公式直接计算问题1，是为了与之前的计算过程和结果进行比较，优劣立现。当然不要忘记检验当A=0或B=0时公式仍适用，进而扩大公式的应用范围。还要让学生进一步思考：当A=0或B=0，还可以怎样求点到直线的距离？通过实例讨论A=0或B=0时公式成立，“直线特殊时，图像是良方”，还可以画图求解。接着师生共同总结出：

（1）公式的结构特征：①公式是个怎样的运算形式？②分子是什么？③分母是什么？

（2）公式的适用范围：①公式对于任意点P（包括P在直线上）和任意直线都适用。当A=0或B=0時，公式仍成立，具体计算时用图形直接求解更简单。

（3）公式的使用前提：先将直线化为一般式方程。

（4）公式的方程观点：公式可理解为是含有6个量的方程，可以知五求一。

最后，进行深度研讨解决例2：已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求ΔABC的面积。从而巩固点到直线的距离公式，体会数形结合思想。

五、目标反馈

组织和指导学生归纳知识、技能、方法的一般规律，深化对数学思想方法的认识，为后续学习点到直线的距离公式、等面积法的算法框图、等面积法推导点到直线的距离公式的思想方法打好基础。

六、布置作业

课后作业分为必做题和探究题，尝试推导两条平行直线的距离公式。

最后是板书设计：

课题：点到直线的距离

1.问题1：求点P（1，2）到直线l：x-y-2=0的距离。

问题2：求点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）的距离。

等面积法的推导过程

2.点到直线的距离公式

典型例题

例1：（略）。

例2：（略）。

七、结语

本节课的教学设计充分体现了以学生为主体的教学理念。在教学过程中，我努力创设一个探索数学的学习环境，为学生主动探究科学设置合理的阶梯，让学生在自主探究的过程中，亲身经历数学公式的思考和推导过程，深入体会其中蕴含的数学思想，进而提高自身的探究能力。

参考文献：

[1][3]缪泽娟.高中数学探究式教学的内涵及实践研究[J].数学教学通讯， 2017（12）：54-55.

[2]李玉荣. 把握尺度谨防“滑过”——以韦达定理的教学为例[J].中小学数学（初中版），2015（1）：7-8.

[4][6]朱建霞.高中数学探究型教学的着力点分析[J].数学教学通讯， 2017（15）：44-45.

[5][7]邵 咏.高中数学探究教学策略[J].中学生数理化（教与学）， 2017（2）：52.