简单几何体的外接球问题

霍金萍

（山西省临汾市第一中学校）

近几年高考，与球有关的切、接问题是常见题型。这类题主要考查学生的空间想象能力和准确、快捷的计算能力。本文主要探讨几何体的外接球问题。

长方体的体对角线的交点为其外接球的球心，体对角线长为外接球的直径。根据长方体的这一特性，可以得到解决几何体的外接球这类题的思路一。

思路一：几何体是否可以补为长方体，若可以，则几何体与此长方体是同一外接球，而长方体的体对角线长即为外接球的直径（注：此处可补为长方体指的是此几何体的顶点必须都是长方体的顶点）

例1.直三棱柱底面是等腰直角三角形，侧棱和底面直角边长均为2，其外接球的表面积是 （ ）

解析：可补为棱长为2的正方体，外接球的直径即为正方体的体对角线长为2，表面积为12π.

对于简单几何体的外接球，考查比较多的是三棱锥的外接球，那么具有什么结构特征的三棱锥可以补为长方体呢？

从长方体的八个顶点中任取四个构成三棱锥，这样的三棱锥有什么结构特征，反过来说，具有这种结构特征的三棱锥就可以补为长方体。为了能够快速、全面地找见符合条件的三棱锥，可以按照一个表面上取的点的个数来分类：

1.当面ABCD内取三个点：比如A，B，D时，第四个点只能从面A1B1C1D1中来取。

①当取点A1时，三棱锥A-A1BD的四个面中的△A1AB，△A1AD，△BAD皆为直角三角形，直角顶点为同一个点。

结论1：有三个面为直角三角形，直角顶点为同一个的三棱锥，可补为长方体，设三条两两互相垂直的棱长分别为a，b，c时，

②当取点B1时，三棱锥B1-ABD的四个面皆为直角三角形，最长的棱为长方体的体对角线B1D。

结论2：四个面皆为直角三角形的三棱锥可补为长方体，最长的棱长为外接球的直径。

③当取点C1时，三棱锥C1-ABD的四个面中，△DAB，△ABC1，△ADC1皆为直角三角形，直角顶点不为同一个，最长的棱AC1为长方体的体对角线。

结论3：三个面皆为直角三角形，直角顶点不为同一个的三棱锥可补为长方体，最长的棱长为其外接球的直径。

④当取D1点时，与取点B1时的情况一样，也是四个面是直角三角形的三棱锥。

2.当面ABCD内取两个点，另一个面A1B1C1D1中取两个点时，经过分析要使取得的三棱锥与前面取得的三棱锥特性不同时，只能取面对角线的端点，不妨取点A，C，B1，D1，得三棱锥B1-D1AC，此三棱锥对棱相等。

设 AC=x，B1C=y，AB1=z，AB=a，BC=b，BB1=c

则 a2+b2=x2① b2+c2=y2② a2+c2=z2③

①+②+③得 2（a2+b2+c2）=x2+y2+z2

结论4：对棱相等的三棱锥可补为长方体，设三对相等的棱

当在一个表面内取一个点，另一个表面内取三个点时与第一种情况相同，从而得出：从长方体的八个顶点中任取四个构成三棱锥，只会出现结论1—4中的四类三棱锥，反过来，具有这些结构特征的三棱锥都可以补为长方体。

例2.已知球 O 面上四点 A，B，C，D，DA⊥面 ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的半径为 （ ）

解析：三棱锥的四个面皆为直角三角形，由结论2：最长的棱DC的长为外接球的直径。DC=3，外接球半径R=。

例3.已知四面体ABCD的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=4，AC=BD=2，则球的半径为 （ ）

解析：是对棱相等的三棱锥，由结论4：球的半径为。

思路二：若几何体补不成长方体时，找球心的大致的位置，构造直角三角形，用勾股定理求解。先找到一个面上几个点距离相等的点，过此点且垂直于面的直线上任意一点到这个面上的几个点的距离相等，外接球的球心在此垂线上。

例4.设三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，所有棱的长都是为a，顶点都在一个球面上，则该球的半径为 （ ）

解析：是正三棱柱，补不成长方体。在面ABC中，到三点A，B，C距离相等的点是△ABC的中心G，则过点G垂直于面ABC的直线上任意一点到点A，B，C的距离相等。因为是正三棱柱，此直线过△A1B1C1的中心H。球心为HG的中点O。连接OC，GC在

综上所述，解决简单几何体与球的内接问题的关键是：抓住接的特点，即球心到几何体各顶点的距离等于球的半径。具体先看几何体是否可以补为长方体，若可以，则长方体的体对角线长即为外接球的直径；若不可以，找球心的大致位置，构造直角三角形，利用勾股定理来求解。

孙汉中，张敏.球与两种基本多面体的接、切及应用例读［J］.数理化学习（高中版），2010（13）.