“函数概念”教学之我见

2018-02-24 02:40杨淑霞
新课程(下) 2018年8期
关键词:数集值域路程

杨淑霞

(宁夏育才学校勤行校区,宁夏 银川)

首先让学生回忆初中是如何给函数下定义的?这个问题上课前一天就留给学生,学生提前查阅了初中课本,所以很快给出了定义,并板书在黑板上:

在一个变化过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说y是x的函数,其中x叫做自变量。

初中生对函数概念理解的焦点在前部分,是一种动态的理解:必须有两个变量,其中一个随另一个在发生变化,从而使他们忽略了对定义后半句的理解和重视。而这恰恰又是高中阶段函数概念的核心,所以函数概念的教学必须帮助学生实现从动态到静态理解的转化。

随之便设计了一个具有实际背景的函数模型,并提出问题:

一辆汽车从银川出发,以每小时80公里的速度驶往320公里之遥的固原,请问:

1.在整个行驶过程中,汽车行驶的路程s是不是时间t的函数?

这个问题对学生来说,是比较容易回答的:是,并且函数关系式为s=80t,时间t是自变量,路程s是因变量。

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2.如果把汽车在整个行驶过程中的时间t的取值构成的集合记作A,路程s的取值构成的集合记作B.你能写出集合A和B吗?

学生会很快给出答案 A={t|0≤t≤4},B={s|0≤s≤320}.

3.在整个行驶过程中,汽车行驶的时间t是不是路程s的函数?

学生在初中函数知识和高一第一章节集合知识的支持下,对以上问题的回答都是水到渠成,所以趁热打铁,提出了第4个问题:

4.在整个行驶过程中,汽车行驶的速度v是不是时间t的函数呢?

这个问题一提出来,全班学生异口同声地回答:不是,理由很简单:时间t是变量,但速度v不是变量,是一常量,这完全违背了初中函数概念“在一个变化过程中有两个变量x和y”的描述。

这个时候矛盾产生了,如何解决?告诉学生:这就要求我们对初中函数概念加以完善。如果这个时候直接给出高中函数的概念,学生觉得很突然,难以接受。在教学中又作了以下尝试:

(1)汽车在整个行驶过程中,行驶的路程s是时间t的函数关系,这个关系能不能理解为是非空数集A={t|0≤t≤4}到B={s|0≤s≤320}的一种特殊的对应?这种特殊对应则表现为:对于集合A中的任何一个时间t,在集合B中都有唯一的路程和它对应。给学生充足的时间去思考,学生最终的回答是:可以这样理解,并且和初中的定义不矛盾,本质上是一致的。

(2)有了对问题1的诠释,学生自然给出了:汽车在整个行驶过程中,汽车行驶的时间t是路程s的函数可以理解为:非空数集A={s|0≤s≤320}到B={t|0≤t≤4}的一种特殊对应:即对集合A中任意一个路程s,在集合B中都有唯一一个时间t和它对应,并且实现对应关系的桥梁是式子

乘胜追击,提出问题(3):汽车在整个行驶过程中,时间t取值集合A={t|0≤t≤4},速度v取值构成的集合B={80},对于A中的任何一个时间t,在集合B中是不是都有唯一的速度80和它对应呢?学生回答是。路程和时间(或时间和路程)的这种特殊关系我们称之为函数关系,那速度和时间的特殊对应关系就不能成为函数关系呢?此时学生便理直气壮地回答:完全可以,并且函数关系式可以表示为:v=80(t∈[0,4])。这时,老师有义务告诉学生:这个函数称之为常函数,一般表示式为y=a(其中a为常数,x∈R),其图象是与x轴平行或重合的一条直线。

通过以上循序渐进地引导,完全可以让学生尝试给出高中函数概念:

一般的,设A,B是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作:y=f(x),x∈A.

其中x叫自变量,集合A是函数的定义域,与x相对应的y值叫做函数值,函数值的集合C={f(x)|x∈A}叫做函数的值域,且C⊆B。

有了函数的概念,再回过头让学生对课本中三个引例作出判断:

①炮弹距离地面的高度h是时间t的函数,理由是:对非空数集A={t|0≤t≤26}中任意一个时间t,在集合B中都有唯一的高度h和它对应,并且实现这一对应的法则f是式子h=130t-5t2。

②南极上空臭氧层空洞的面积S是时间t的函数,理由是:对非空数集A={t|1979≤t≤2001}中的任意一个时间t,在集合B中都有唯一的面积S和它对应,且实现这一对应的法则是图象。

③从1991年到2001年间我国城镇居民恩格尔系数y是时间t的函数,理由是:对非空数集A={t∈N|1991≤t≤2001}中的任意一个时间 t,在集合 B={53.8,52.9,50.1,49.9,49.9,48.6,46.4,44.5,41.9,39.2,37.9}中都有唯一的 y和它对应,实现这一对应的法则是表格。

以上三例中,实现从非空数集A到B的特殊对应的法则不同,使得函数的表示有三种方法——解析法、图象法和列表法,从而为下节课“函数的表示法”奠定了基础。

学生对函数的概念彻底理解了,但新的问题又产生了。学生对函数概念中“值域是集合B的子集”理解又有了困难。针对这一困难,又作了以下尝试:

问题1中,汽车行驶的路程是时间的函数,且其定义域A={t|0≤t≤4},值域 C={s|0≤s≤320},如果把集合 C 改为 B={s|0≤s≤400},从集合A到集合B的这种对应还是不是函数?学生回答是。那此时函数的值域C和集合B又是什么关系呢?这样处理,学生就很轻松地明白了定义中的补充“值域是集合B的子集。”

高中数学的特点之一——高度的抽象性,所以学生在理解上有一定的困难。如何让学生能轻松自如地理解每一个数学概念和每一个数学公式,这就需要我们老师认真研究教材,研究学生,尽可能地用浅显易懂的方法去讲授抽象的数学知识。相信通过我们老师的不懈努力,会让学生喜欢上数学,并且学好数学。

作者简介:杨淑霞(1970—)女,宁夏育才学校高级教师,主要从事高中数学教材教法研究。

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