“函数概念”教学之我见

杨淑霞

（宁夏育才学校勤行校区，宁夏 银川）

首先让学生回忆初中是如何给函数下定义的？这个问题上课前一天就留给学生，学生提前查阅了初中课本，所以很快给出了定义，并板书在黑板上：

在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，其中x叫做自变量。

初中生对函数概念理解的焦点在前部分，是一种动态的理解：必须有两个变量，其中一个随另一个在发生变化，从而使他们忽略了对定义后半句的理解和重视。而这恰恰又是高中阶段函数概念的核心，所以函数概念的教学必须帮助学生实现从动态到静态理解的转化。

随之便设计了一个具有实际背景的函数模型，并提出问题：

一辆汽车从银川出发，以每小时80公里的速度驶往320公里之遥的固原，请问：

1.在整个行驶过程中，汽车行驶的路程s是不是时间t的函数？

这个问题对学生来说，是比较容易回答的：是，并且函数关系式为s=80t，时间t是自变量，路程s是因变量。

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2.如果把汽车在整个行驶过程中的时间t的取值构成的集合记作A，路程s的取值构成的集合记作B.你能写出集合A和B吗？

学生会很快给出答案 A={t|0≤t≤4}，B={s|0≤s≤320}.

3.在整个行驶过程中，汽车行驶的时间t是不是路程s的函数？

学生在初中函数知识和高一第一章节集合知识的支持下，对以上问题的回答都是水到渠成，所以趁热打铁，提出了第4个问题：

4.在整个行驶过程中，汽车行驶的速度v是不是时间t的函数呢？

这个问题一提出来，全班学生异口同声地回答：不是，理由很简单：时间t是变量，但速度v不是变量，是一常量，这完全违背了初中函数概念“在一个变化过程中有两个变量x和y”的描述。

这个时候矛盾产生了，如何解决？告诉学生：这就要求我们对初中函数概念加以完善。如果这个时候直接给出高中函数的概念，学生觉得很突然，难以接受。在教学中又作了以下尝试：

（1）汽车在整个行驶过程中，行驶的路程s是时间t的函数关系，这个关系能不能理解为是非空数集A={t|0≤t≤4}到B={s|0≤s≤320}的一种特殊的对应？这种特殊对应则表现为：对于集合A中的任何一个时间t，在集合B中都有唯一的路程和它对应。给学生充足的时间去思考，学生最终的回答是：可以这样理解，并且和初中的定义不矛盾，本质上是一致的。

（2）有了对问题1的诠释，学生自然给出了：汽车在整个行驶过程中，汽车行驶的时间t是路程s的函数可以理解为：非空数集A={s|0≤s≤320}到B={t|0≤t≤4}的一种特殊对应：即对集合A中任意一个路程s，在集合B中都有唯一一个时间t和它对应，并且实现对应关系的桥梁是式子

乘胜追击，提出问题（3）：汽车在整个行驶过程中，时间t取值集合A={t|0≤t≤4}，速度v取值构成的集合B={80},对于A中的任何一个时间t，在集合B中是不是都有唯一的速度80和它对应呢？学生回答是。路程和时间（或时间和路程）的这种特殊关系我们称之为函数关系，那速度和时间的特殊对应关系就不能成为函数关系呢？此时学生便理直气壮地回答：完全可以，并且函数关系式可以表示为：v=80（t∈［0，4］）。这时，老师有义务告诉学生：这个函数称之为常函数，一般表示式为y=a（其中a为常数，x∈R），其图象是与x轴平行或重合的一条直线。

通过以上循序渐进地引导，完全可以让学生尝试给出高中函数概念：

一般的，设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f（x），x∈A．

其中x叫自变量，集合A是函数的定义域，与x相对应的y值叫做函数值，函数值的集合C={f（x）|x∈A}叫做函数的值域，且C⊆B。

有了函数的概念，再回过头让学生对课本中三个引例作出判断：

①炮弹距离地面的高度h是时间t的函数，理由是：对非空数集A={t|0≤t≤26}中任意一个时间t，在集合B中都有唯一的高度h和它对应，并且实现这一对应的法则f是式子h=130t-5t2。

②南极上空臭氧层空洞的面积S是时间t的函数，理由是：对非空数集A={t|1979≤t≤2001}中的任意一个时间t，在集合B中都有唯一的面积S和它对应，且实现这一对应的法则是图象。

③从1991年到2001年间我国城镇居民恩格尔系数y是时间t的函数，理由是：对非空数集A={t∈N|1991≤t≤2001}中的任意一个时间 t，在集合 B={53.8，52.9，50.1，49.9，49.9，48.6，46.4，44.5，41.9，39.2，37.9}中都有唯一的 y和它对应，实现这一对应的法则是表格。

以上三例中，实现从非空数集A到B的特殊对应的法则不同，使得函数的表示有三种方法——解析法、图象法和列表法，从而为下节课“函数的表示法”奠定了基础。

学生对函数的概念彻底理解了，但新的问题又产生了。学生对函数概念中“值域是集合B的子集”理解又有了困难。针对这一困难，又作了以下尝试：

问题1中，汽车行驶的路程是时间的函数，且其定义域A={t|0≤t≤4}，值域 C={s|0≤s≤320},如果把集合 C 改为 B={s|0≤s≤400}，从集合A到集合B的这种对应还是不是函数？学生回答是。那此时函数的值域C和集合B又是什么关系呢？这样处理，学生就很轻松地明白了定义中的补充“值域是集合B的子集。”

高中数学的特点之一——高度的抽象性，所以学生在理解上有一定的困难。如何让学生能轻松自如地理解每一个数学概念和每一个数学公式，这就需要我们老师认真研究教材，研究学生，尽可能地用浅显易懂的方法去讲授抽象的数学知识。相信通过我们老师的不懈努力，会让学生喜欢上数学，并且学好数学。

作者简介：杨淑霞（1970—）女，宁夏育才学校高级教师，主要从事高中数学教材教法研究。