数学思维活动经验研究综述

数学活动经验作为义务教育阶段数学课程目标之一，最早出现在 《全日制义务教育数学课程标准 （实验稿）》 中。 在 《全日制义务教育数学课程标准》（2011年版）中，它与基础知识、基本技能和基本思想一起，组成了数学课程目标的 “四基”。随着课程改革的推进，数学活动经验的研究日臻丰富和深入，特别是将数学活动经验分为 “实践的经验”和 “思维的经验”更加彰显了数学学科本质。数学思维活动经验从属于数学活动经验，又体现了数学思维特质，这是一个全新的话题，可以说当前学界和教学一线对此内容的研究尚在摸索阶段，本文拟对当前 “数学思维活动经验”的相关研究做简要评述。

一、数学活动经验的相关研究

1.数学活动经验的含义

目前，我国有关数学活动经验的理论研究与教学实践尽管取得了一定的进展，但至今仍未对数学活动经验的含义达成共识，目前影响较大的几种观点主要体现在两个方面。

（1）把数学活动经验作为某种单一体。有学者认为数学活动经验是数学知识的一部分。 “数学活动经验属于学生的主观性数学知识的范畴”。马复则认为数学活动经验是一种认识，特别是感性认识。个体的数学活动经验是对自己以往经历的数学活动在认知方面的自觉或不自觉的感性概括，是一种感性认识。也有的认为，数学活动经验是在数学目标指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识。还有的将数学活动经验看作体验，是经历。数学活动经验是学生经历数学活动之后所留下的直接感受、体验和感悟。这些具有个体特色的内容，既可以是感觉知觉的，也可以是经过反省之后形成的经验。

（2）把数学活动经验作为复杂的组合体。一种观点认为数学活动经验既是知识，也是过程。数学活动经验分为静态和动态两个层面。数学活动经验介于缄默知识和显性知识之间，从静态上看是知识，是学生对整个数学活动过程产生的认识，包括体验和感悟等；从动态上看是过程，是经历。另一种观点认为数学活动经验是组合体的整体概念。数学活动经验是指学习者在参与数学活动的过程中所形成的感性知识、情绪体验和应用意识。感性知识是指具有学生个人意义的过程性知识；情绪体验是指对数学的好奇心和求知欲、在数学学习活动中获得的成功体验、对数学严谨性与数学结果确定性的感受以及对数学美的感受与欣赏等；应用意识包括 “数学有用” 的信念、应用数学知识的信心、从数学的角度提出问题与思考问题的意识以及拓展数学知识应用领域的创新意识。也有的认为，数学活动经验是学生从经历的数学活动过程中获得的感受、体验、领悟以及由此获得的数学知识、技能、情感与观念等内容组成的有机组合性经验。

2.数学活动经验的分类

由于对经验的理解和对经验分类的角度不同，对数学活动经验如何分类也存在比较大的分歧。目前，有较大影响的主要是以下五种观点：

（1）根据所从事的数学活动的不同形式，数学活动经验大体上可以分为四种不同的类型。①直接数学活动经验，直接联系日常生活经验的数学活动所获得的经验；②间接数学活动经验，创设实际情境构建数学模型所获得的经验；③专门设计的数学活动经验 ，由纯粹的数学活动所获得的经验；④意境联结性数学活动经验，通过实际情境意境的沟通，借助想象体验数学概念和数学思想的本质。

（2）根据是否便于操作，有的学者把经验分为两类：感性经验和逻辑经验。感性经验也依赖思考，但更多的是依赖观察；逻辑经验也依赖观察，但更多的是依赖思考。

（3）按照学生参与数学活动的类型特别是行为操作与思维操作的不同将数学活动经验分成行为操作的经验、探究的经验、数学思维的经验 （不借助外在的实在物体而依据思维材料进行数学思维操作活动而获得的经验）和综合运用数学知识进行问题解决的经验（包括发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的经验等等）。

（4）根据 《全日制义务教育数学课程标准 （2011年版）》中课程目标 “四基”的定位，希望学生获得必要的数学知识和技能之外，还能感悟数学的基本思想，积累数学思维活动和实践活动的经验。 “实践的经验”主要是从外部世界抽象出数学、将形式化数学用于外部现实中获得的经验，包括设计、规划、组织、协调等的经验。 “思维的经验”主要是进行数学符号化过程中获得的经验，日常学习学生主要获得“思维的经验”。

（5）根据 “数学活动经验是数学活动的下位概念”，提出数学活动经验是通过数学活动所积累的经验。并指出在数学学习过程中，数学活动经验主要包括操作活动经验、思维活动经验和实践活动经验等。

3.数学活动经验的教学策略

黄翔先生等较全面地提出了使学生获得数学活动经验的策略或途径：①设计一个好的数学活动：能为学生提供良好的学习环境和问题情境，并且是每一个学生都能进行的；能为学生获得更多的活动经验提供广阔的探索空间；能充分体现数学的本质；能使学生积极参与，充分交流。②重视过程性目标在课堂教学中的落实。③发掘 “做数学” 的课堂教育价值。④数学活动经验重点在积累，也需要通过一定的教学手段予以提升，在课堂教学中应特别注意三个方面：通过恰当的教学措施促使学生对概念、命题、原理等的感性认识上升到一定的理性认识；处理好活动过程与活动结果的关系；处理好问题化、情境化与知识系统性的关系。⑤努力开发对数学活动经验的评价手段与方式。

有的深入到数学活动经验的教学过程，提出了有利于学生积累数学活动经验的六条教学策略：

（1）数学活动动机激发策略； （2）数学活动经验生成策略； （3）数学活动经验系统化实现策略；（4）数学活动经验层次转化策略； （5）数学活动经验拓展策略； （6）数学活动经验优化策略。

聂艳军从教材的视角，提出引导学生积累、丰富和发展数学活动经验的策略：①展开知识的产生、形成与发展的过程，引导学生积累不同活动阶段的经验内容：主要包括创设数学活动情境，引导学生在感受知识产生背景中获得直接体验；提供 “做”数学和“思考”的活动，引导学生在经历知识形成中积累数学活动经验；重视比较反思，引导学生在活动勾连中提升数学活动经验。②编排专题性内容，引导学生积累专门设计的数学活动经验。

二、数学思维的相关研究

数学思维一直是数学教育研究的重要内容。学者从数学思维的定义、结构、特征、品质等基本问题入手，对学生数学思维能力的形成、培养和发展，进行了广泛深入的探讨。

1.数学思维的含义

在现代心理学中，思维是人脑对客观现实概括的和间接的反映，反映的是事物的本质与内部规律性。数学思维是针对数学活动而言的，包括一般思维所具有的本质，又具有不同于一般思维的特性，这种特性是由数学学科本身的特点所决定的。

国内关于数学思维的研究具有较强的方法论色彩，并在很大程度上是一种规范性的研究；而国外的研究则与心理学 （特别是数学学习心理学）的研究有着更为密切的联系，也即更加注意对于实际数学思维过程的深入考察。

在我国数学教育界，有如下一些观点：王仲春教授提出，数学思维是指人类关于数学对象的理性认识过程，包括应用数学工具解决各种实际问题的思考过程。王梓坤院士在其 《今日数学及其应用》一文中提出： “当代数学思维是一种定量思维。总之，数学思维是针对数学活动而言的，通过对数学问题的提出、分析、解决、应用和推广等一系列工作，获得对数学对象的本质和规律性的认识过程。这个过程是人脑的意识对数学对象接收、分析、选择、加工与整合。”王宪昌在 《数学思维方法》中指出：通常意义上，数学思维就是在数学活动中的思维。准确地说，数学思维是人脑在和数学对象交互作用的过程中，用特殊的数学符号语言以抽象和概括为特点，客观事物按照自身的形式或者规律做出的间接概括的反映。也有学者认为，数学思维是客观世界的纯粹的量的本质属性、相互关系及其内在规律性在人的头脑中概括的和间接的反映。

虽然学者关于数学思维定义的描述各有差异，但研究过程中大多注意到了一般思维的本质及数学学科的特点：数学思维是人类所特有的，区别于其他学科的思维形式，数学思维具有目的性等，是对思维过程的认识有所差异。

2.数学思维的类型

学者们从不同的角度，对数学思维的类型开展了相关研究。

从数学思维基本成分角度，把数学思维分为具体形象思维、抽象逻辑思维与素朴的直觉思维三种，它们分属于三种不同层次的思维。形象思维是人类的基本思维形式之一，它是一种以客观形象为思维对象，以联想为主要思维工具、以指导创造 “物化形象”的实践为主要目的的思维活动；数学逻辑思维是数学思维最基本的形式，它以反映客观事物数学本质属性的概念为思维材料，在数学概念的基础上，通过一定的逻辑法则进行推理，定义新概念，形成定理、原理。数学逻辑思维又包含形式逻辑思维和辩证逻辑思维；数学直觉思维是人脑对数学对象及其结构的一种迅速的识别、直接的理解、综合的判断，是数学的洞察力。

从数学思维方式的角度，把数学思维分为集中思维和发散思维、抽象思维和形象思维、分析思维和直觉思维。

从数学思维方法的角度，把数学思维分为类化思维、配对思维、函数思维、空间思维、程序思维、整体思维、极端思维和构造思维等。

3.关于数学思维教学的研究

目前，关于数学思维教学研究的著作很少，大部分只是对思维的研究；即使是在一些关于数学思维研究的书籍中，绝大多数也是针对中学数学知识的。在极少数研究小学数学思维的书籍中，也是专家在做小学数学思维的宏观研究。对于一线的小学数学教师来说，自身理解起来都有困难，就不可能把书中对小学数学思维的研究很好地渗透在自己的教学中。如郑毓信著的 《数学思维与小学数学》是针对小学数学知识来研究数学思维的，该书分为三大部分：第一部分走向数学思维；第二部分概念性数学思维与问题性数学思维；第三部分从 “数学地思维”到 “通过数学学会思维”。能查到的关于小学数学思维的期刊文章也都笼统地以小学数学知识为载体，来说思维能力培养。而没有真正针对小学阶段应培养哪些数学思维来阐述。

三、数学思维活动经验的相关研究

1.含义及分类

数学思维活动经验是随着数学活动经验的研究深入而提出的概念，专门论述数学思维活动经验的资料比较少，只是散见于数学活动经验的相关论述中。

苏明强认为数学基本活动经验是在基本数学活动过程中所积累的最为重要、最为根本的活动经验，数学基本活动经验应该属于思维活动经验。并进一步从数学学习的角度把数学基本活动经验 （这里即指数学思维活动经验）分为抽象的经验、归纳的经验、演绎的经验：“抽象的经验”是指经历具体事物或问题情境数学化的思维活动过程所积累的体验和形成的认识， “归纳的经验”是指经历从特殊到一般的思维活动过程所积累的体验和形成的认识， “演绎的经验”是指经历从一般到特殊的思维活动过程所积累的体验和形成的认识。

王林等认为：只要是依据思维材料而不借助任何直观材料进行数学思维操作的数学活动而获得的经验，都可以理解成数学思维的经验。并根据学生数学学习特有的思维活动 （归纳的活动、数据分析的活动、类比的活动、推理的活动等）分为归纳的经验、数据分析的经验、类比的经验、推理的经验等思维的经验。

在可查资料中，专门论述 “数学思维活动经验”的只有两个：范新林将 “思维经验”定义为在思维活动过程中所获得的那些最直接、最朴素的感性认识。笔者在 《数学思维活动经验及教学策略》一文中从数学思维的定义出发，提出数学思维活动经验就是以空间形式和数量关系为思维对象，借助数学语言和符号在感悟归纳推理和演绎推理、发现数学知识和规律、解决数学问题的过程中，只依据思维材料进行数学思维操作活动所获得的经验。并从数学思维能力的角度把数学思维活动经验分为了三类：即逻辑推理能力、空间想象能力以及问题解决的能力。

2.教学策略

关于数学思维活动经验的教学策略，在可考材料中更是少之又少。浙江特级教师范新林从思维经验的特质——认知体验是原生态、碎片化的出发，提出两条教学策略：反思——“思维经验”的点状积累；链接——“思维经验”的线状积累。此外，在同期杂志还刊发了范新林团队从案例的角度阐述的相关教学策略。

笔者则在 《数学思维活动经验及教学策略》中从数学思维活动经验的类型出发提出相应的教学策略：在经历归纳与演绎活动过程中积累逻辑推理的活动经验；在经历直观与抽象变换的过程中积累空间想象活动经验；在经历解决实际问题的过程中积累问题解决的活动经验。

四、数学思维活动经验的研究展望

1.相关概念的界定

某个问题的深入研究总是以概念的清晰界定为基础。 “数学思维活动经验”涉及的核心概念 “数学思维” “数学活动经验”都是较为抽象的，而且当前都没有统一的定论，在这两个概念的基础上生成的 “思维活动经验”就更为抽象和模糊。因此，进一步厘清这些概念的内涵与外延是今后一段时间研究的重点。而避免从一些辞典或专著中生搬硬套，做出具有时代特征的个性化解读则是研究的难点，特别是数学思维活动经验具体包括哪些，要有清晰的界定。

2.教学策略的总结

某个问题或专题的研究不能停留在理论层面，而应以解决实际问题为追求。数学思维活动经验落实到实践中最关键的环节就是总结出相应的为一线教师所能接纳、采用的教学策略。数学思维活动经验的教学策略应该是多维度的：可以从数学内容领域出发，总结出 “数与代数” “图形与几何” “统计与概率”“综合与实践”各领域的数学思维活动经验形成策略；可以从思维成分的角度，总结出 “逻辑思维”活动经验、 “形象思维”活动经验、 “直觉思维” 活动经验形成的策略；也可以从思维品质的角度，总结出 “整体与结构” 活动经验、 “严谨与灵活” 活动经验、“批判与创造”活动经验的形成策略。

3.评价体系的构建

教学评价既是课堂教学的出发点，又是衡量教学理论是否科学合理的依据。在教学理念、教学素材、教学措施等各种变量的影响下，数学思维活动经验能否达成，达成到何种程度，都需要一定的评价标准来衡量。因此，在后续的研究中，制定科学合理的评价体系也是数学思维活动经验的研究方向之一，而且也是该研究领域的难点所在。