反例教学在高中数学课堂中的应用及其作用

何丽珍

摘 要：本文阐述高中数学中反例的作用及其应用，同时也收集了一些与教材相关的重要反例，它使我们体会到用反例来解决一些数学问题给人的愉悦，也让我们认识到反例的应用会使教学更加的生动。但是当前，数学教学过程中，教师对教学反例的认识不够，教材也没有给予足够的重视。虽然证明在数学学习中有重要的作用，但是反例作为问题的另一个方面，也应清楚在数学学习中的重要性。

关键词：反例;高中数学;应用;作用

众所周知，要判断一个命题的正确性必须经过严密的推证，而要否定一个命题，却要举出一个与结论相矛盾的例子即可。这种与命题相矛盾的例子成为反例。

举反例和证明同时是重要的数学思维方式，它们是一个问题的两个侧面。美国数学家B.R.盖尔鲍姆和J.M.H奥姆斯特德指出：“冒着过于简单化的风险，我们可以说数学由两大类——证明与反例组成，而数学发现也是朝着两个主要的目标——提出证明与构造反例。”所以我们说数学中的反例，既是简明有力的否定，又是极有说服力的肯定，反例的作用不仅用以否定命题而且也是发现数学教学真理的一种重要的手段，它有助于发现问题，活跃思维，避免常犯易犯的错误，在数学学习与研究中起着不可估量的作用。

反例在高中数学的应用及其作用

一、利用反例加深对数学概念的理解

学习数学概念，不仅要重视正面的例子，加以深刻阐明，还要运用合适的反例来领会概念的含义。学生在学习某些数学概念时，常常不能抓住数学概念的本质特性，不能全面的理解數学概念的内涵和外延，结果造成理解上的混淆，而反例的十分简明和具有说明力的否定，往往能起到正面例子起不到的作用，正确地使用反例，可以活跃学生的思维，加深对数学概念的理解。

如：函数奇偶性的应用

一个函数y=f（x）是奇（偶）函数，必须具备2个条件：（1）定义域关于原点对称;（2）f（-x）=-f（x）[f（-x）=f（x）]学生在做题时，往往忽略第一个条件。

例1：判断函数f（x）=（1-x）■的奇偶性。

误解：因为判断函数f（-x）=（1-x）■=■

而f（x）=（1-x）■=■

∴函数y=f（x）是偶函数

剖析：错误在于没有注意到f（x）定义域为半开区间[-1，1），不关于原点对称。

正确解法：因为f（x）定义域为半开区间[-1，1），不关于原点对称。

∴f（x）是非奇非偶函数

在高中数学的学习中，通常会碰到判断函数奇偶性的问题，久而久之，学生的头脑中就忽略“定义域关于原点对称”这个条件，这一反例纠正了学生对这一概念的错误理解，扩大了知识面。

二、利用反例直接解答问题

对于某些结论否定型问题，从正面证明它不成立一般不容易，而举一个反例往往能迅速的解决问题。

如：关于极限方面的应用

例2：若

解法：反之不成立，若直接说明不好入手，若举反例来说明，学生们记忆就深刻。例如an=■+n，bn=■-n，显然       存在，但   与   均不存在。

“对则证明，否则举反例”，对于这类问题，盲目推导证明可能会陷入窘境，而恰当的反例往往能轻松地解决问题。

三、利用反例澄清模糊认识

构造反例是推翻命题的一种重要方法，也是发现错误，修正命题与解法，激发人们思维的一种好方法。为了澄清学习数学中的模糊认识，常常需要从正反两个方面进行探索。

如：关于数列方面的应用

例3：设数列{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn，问{cn}是否为等比数列？

分析：这是一道探索性的问题，我们可以先假定{cn}是等比数列，并设{an}，{bn}的公比分别为p，q（p≠q），在此假设下，c1，c2，c3也应是等比数列，于是c22=c1·c3

即（a1p+b1q）2=（a1+b1）（a1p2+b1q2）

整理得（p-q）2=0，这与p≠q矛盾，故{cn}不是等比数列。

显然，上述的反例c1，c2，c3否定了假设，从而较快地解决了问题。

参考文献：

[1]张惠民.例谈反例构建.[J].北京：人民教育出版社.中学数学.2012年9月

[2]徐斌艳.数学课程与教学论.[M].杭州：浙江教育出版社，2013.