浅谈高中不等式恒成立的解题策略

李建波 刘英

【摘要】 不等式恒成立问题是高中数学知识体系中的重点与难点部分，也是历年高考的高频考点.不等式恒成立问题解题策略主要有最值法、变量分离法、更改主元法、数形结合法、特殊值法、分段讨论法.

【关键词】 不等式;恒成立;解题策略

高中数学不等式恒成立问题设计一般涉及函数、方程、数列、导数等知识点，渗透着函数与方程、等价变换、换元、分类讨论等数学思想方法.不等式恒成立问题在解题过程中有如下几种策略：

题目一  已知函数f（x）=x2-2ax-2a，若x∈[0，2]， f（x）≥ 1恒成立，求a的取值范圍.

策略一  最值法+分类讨论法

解法1  此题可以化为函数f（x）在闭区间[0，2]上的最值问题.

x∈[0，2]，f（x）≥1恒成立x∈[0，2]，f（x）  min ≥1

a≤0，f（x）  min =f（0）=-2a≥1，

或 0<a<2，f（x）  min =f（a）=-a2-2a≥1，

或 a≥2，f（x）  min =f（2）=-6a+4≥1

解得a∈ -∞，- 1 2  .

点评：最值法是解决不等式恒成立问题最常用的方法之一.f（x）≥a恒成立f（x）  min ≥a;f（x）≤a恒成立 f  max （x）≤ a，在求最值过程中常用分类讨论的思想方法.

策略二  变量分离法（构造函数法）+最值法

解法2  x∈[0，2]，f（x）≥1恒成立x2-2ax- 2a≥ 1在x∈[0，2]恒成立

2a（x+1）≤x2-1在x∈[0，2]恒成立a≤ x-1 2 在 x∈ [0，2]恒成立.

令g（x）= x-1 2 ，x∈[0，2]，则- 1 2 ≤g（x）≤ 1 2 ，故a≤g（x）  min =- 1 2 ，即a∈ -∞，- 1 2  .

点评：用变量分离的方法解决不等式恒成立问题基本步骤是将参数和主元分别位于不等式的左右两边，继而巧妙地构造了一个新函数，最后化归为求新函数的最值问题.

策略三  更改主元法+最值法

题目  若不等式x2+mx>4x+m-3对于满足1≤m≤4的所有实数m恒成立，求未知数x的取值范围.

解  x2+mx>4x+m-3恒成立（x-1）m+x2-4x+3>0恒成立.

将参数m视为主元，则f（m）=（x-1）m+x2-4x+3为常函数或一次函数.

当x=1时，f（m）=0为常函数与f（m）>0不成立.

当x≠1时，一次函数f（m）>0在m∈[1，4]恒成立 f（1）=x2-3x+2>0，x2-1>0，  即x∈（-∞，-1）∪（2，+∞）.

点评：在一些特定的条件下，若能更改主元，转变思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且还可以快速解决不等式恒成立问题.

策略四  数形结合法

题目  当x∈（1，2]时，不等式（x-1）2≤log ax恒成立，求实数a的取值范围是 .

解  在同一直角坐标系内作出函数f（x）=（x-1）2与g（x）=log ax在x∈（1，2]的图像，如图可得：当 0< a<1且x∈（1，2]时， f（x） 的图像恒在g（x）上方，不合题意;当a>1且x∈（1，2] 时，欲使f（x）的图像恒在 g（x） 下方或部分点重合，就必须满足log a2≥1，即1<a≤2.故所求的a的取值范围为（1，2].

点评：对不等式两边进行巧妙变形构造两个简单的新函数，数形结合，直观形象，是解决高中不等式恒成立问题的一种有效的方法.

策略五  特殊值法

题目   数列{a n}的通项公式为a n= 1 5 [3n+（-1） n-1 · 2n]+（-1）n·2na 0，且a 0为常数，假设对于任意n≥1有 a n> a  n-1 ，求a 0的取值范围.

解  对于n≥1有a n>a  n-1 ，取n=1，2就有 a 1-a 0=1-3a 0>0，a 2-a 1=6a 0>0 0<a 0< 1 3 ;

下面只要证明当0<a 0< 1 3 时，就有对任意n∈ N 有a n-a  n-1 >0即可.

由通项公式得5（a n-a  n-1 ）=2·3 n-1 +3·（-1） n-1 ·2 n-1 +（-1）n·15·2 n-1 ·a 0.

当n=2k-1时，5（a n-a  n-1 ）=2·3 n-1 +3·2 n-1 -15·2 n-1 ·a 0>2·3 n-1 +3·2 n-1 -5·2 n-1 >0.

当n=2k，5（a n-a  n-1 ）=2·3 n-1 -3·2 n-1 +15· 2 n-1 · a 0>2·3 n-1 -3·2 n-1 >0，

可见总有a n>a  n-1 .所以a 0的取值范围是 0， 1 3  .

点评：由特殊到一般是人类认识客观世界的基本规律之一，数学学习与研究也一样，所以在教学过程中有必要灌输特殊值思想方法.

高中不等式恒成立问题涉及的知识面比较广，解题方法灵活多变，学生掌握有很大的难度，这需要教师需要在各个备考阶段不断渗透不等式恒成立思想方法，以上方法是比较常用方法，供大家参考与借鉴.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.