几类三角函数有理式不定积分的求法

谭香

【摘要】 三角函数有理式不定积分的计算是高等数学的重点与难点，本文主要将几种常见的三角函数有理式的不定积分进行了分类，针对每种类型总结出了具体的计算方法.

【关键词】 三角函数;不定积分;凑微分法;分部积分法

由u（x），v（x）及常数经过有限次四则运算所得到的函数称为关于u（x），v（x）的有理式，并用R（u（x），v（x））表示.∫R（cosx，sinx）dx是三角函数有理式的不定积分，解决这类问题，比较常用的方法是通过万能公式代换，将其转化为有理函数的积分，但有时计算非常烦琐.本文主要将几种常见的三角函数有理式的不定积分进行了分类，针对每种类型总结出了具体的计算方法.

一、不定积分∫fn（x）dx的计算方法（其中f（x）为三角函数，n∈ Z ，n≥2）

（一）f（x）=sinx或f（x）=cosx

一般来说，对于不定积分∫sinnxdx和∫cosnxdx，若n为奇数时，则可将奇数次幂因子拿出一个与dx凑微分，然后积分.若n为偶数时，则可先利用倍角公式降幂，然后再进行计算，或者利用分部积分法降低f（x）的次数，求得递推公式，然后利用递推公式，求出∫fn（x）dx.

例1   求∫sin4xdx.

解  法一：∫sin4xdx=∫  1-cos2x 2  2dx

=∫ 1+cos22x-2cos2x 4 dx= x-sin2x 4 +∫ 1+cos4x 8 dx

= 3x 8 - sin2x 4 + sin4x 32 +c;

法二：∫sin4xdx=-∫sin3xdcosx

=-sin3xcosx+3∫sin2xcos2xdx

=-sin3xcosx+3∫sin2x（1-sin2x）dx

=-sin3xcosx+3∫sin2xdx-3∫sin4xdx

=-sin3xcosx+3  x 2 - sin2x 4  -3∫sin4xdx.

从而可得∫sin4xdx= -sin3xcosx 4 + 3 8 x- 3 16 sin2x+c.

例2   求∫cos3xdx.

解  ∫cos3xdx=∫cos2xd（sinx）=∫（1-sin2x）d（sinx）

=sinx- sin3x 3 +c.

（二）f（x）=tanx或f（x）=cotx

对于不定积分∫tannxdx（或∫cotnxdx），可将二次幂因子tan2x（或cot2x）替换为sec2x-1（或csc2x-1），然后拆项，一部分凑微分，另一部分降低f（x）的次数进行计算.

例3   求∫tan4xdx.

解  ∫tan4xdx=∫tan2x（sec2x-1）dx

=∫tan2xsec2xdx-∫tan2xdx

=∫tan2xd（tanx）-∫（sec2x-1）dx

= tan3x 3 -tanx+x+c.

例4   求∫cot5xdx.

解  ∫cot5xdx=∫cot3x（csc2x-1）dx

=∫cot3xcsc2xdx-∫cot3xdx

=-∫cot3xd（cotx）-∫cotx（csc2x-1）dx

=- cot4x 4 +∫cotxd（cotx）+∫cotxdx

=- cot4x 4 + cot2x 2 +ln| sinx|+c.

（三）f（x）=secx或f（x）=cscx

对于不定积分∫secnxdx（或∫cscnxdx），若n为偶数时，可将二次幂因子sec2x（或csc2x）拿出一个与dx凑微分，然后积分.若n为奇数时，则可利用分部积分法降低f（x）的次数，求得递推公式，然后利用递推公式，求出∫fn（x）dx.

例5   求∫csc4xdx.

解  ∫csc4xdx=-∫csc2xdcotx=-∫（1+cot2x）dcotx

=-cotx- cot3x 3 +c.

例6   求∫sec3xdx.

解  首先∫secxdx=ln|secx+tanx|+c;

∫sec3xdx=∫secxdtanx=secxtanx-∫secxtan2xdx

=secxtanx-∫secx（sec2x-1）dx

=secxtanx-∫sec3xdx+∫secxdx

=secxtanx-∫sec3xdx+ln|secx+tanx|.

從而可得∫sec3xdx= secxtanx+ln|secx+tanx| 2 +c.

二、不定积分∫sinmxcosnxdx的计算方法（m，n∈ Z +）

一般说来，对于不定积分∫sinmxcosnxdx，若m和n至少有一个为奇数时，则可将奇数次幂因子拿出一个与dx凑微分，然后积分.若m和n均为偶数时，则可先利用倍角公式降幂，然后再进行计算.

例7   求∫sin2xcos5xdx.

解  ∫sin2xcos5xdx=∫sin2xcos4xd（sinx）

=∫sin2x（1-sin2x）2d（sinx）

=∫sin2x（1-2sin2x+sin4x）d（sinx）

=∫（sin2x-2sin4x+sin6x）dx

= sin3x 3 - 2sin5x 5 + sin7x 7 +c.

例8   求∫sin2xcos2xdx.

解  ∫sin2xcos2xdx=∫  1-cos2x 2    1+cos2x 2  dx

=∫ 1-cos22x 4 dx=∫ sin22x 4 dx

=∫ 1-cos4x 8 dx= x 8 - sin4x 32 +c.

三、不定积分∫ sinmx cosnx dx的计算方法（m，n∈ Z +）

对于不定积分∫ sinmx cosnx dx，若m为奇数时，则可将分子拿出一个sinx与dx凑微分，然后进行计算.若m为偶数时，则可将分子写为cosx的函数，然后再根据本文第一部分∫fn（x）dx的计算方法进行计算.

例9   求∫ sin3x cos5x dx.

解  ∫ sin3x cos5x dx=∫ （cos2x-1） cos5x d（cosx）

=∫（cos -3 x-cos -5 x）d（cosx）=- 1 2cos2x + 1 4cos4x +c.

例10   求∫ sin4x cos3x dx.

解  ∫ sin4x cos3x dx=∫ （1-cos2x）2 cos3x dx

=∫ 1-2cos2x+cos4x cos3x dx=∫（sec3x-2secx+cosx）dx

= secxtanx+ln|secx+tanx| 2 -2ln|secx+tanx|+sinx+c

= secxtanx-3ln|secx+tanx| 2 +sinx+c.

同理，不定积分∫ cosmx sinnx dx，∫tanmxsecnxdx等也可用上述方法求解，请读者自行练习.

四、不定积分∫ 1 sinmxcosnx dx的计算方法（m，n∈ Z +）

对于不定积分∫ 1 sinmxcosnx dx，经常将1利用公式sin2x+cos2x =1进行替换，然后拆项降低分母的次数，从而简化运算.

例11   求∫ 1 sin3xcos2x dx.

解  ∫ 1 sin3xcos2x dx=∫ sin2x+cos2x sin3xcos2x dx

=∫ 1 sinxcos2x dx+∫ 1 sin3x dx

=∫ sin2x+cos2x sinxcos2x dx+∫ 1 sin3x dx

=∫ sinx cos2x dx+∫cscxdx+∫csc3xdx

=∫ 1 -cos2x dcosx+∫cscxdx+∫csc3xdx

= 1 cosx +ln|cscx-cotx|+ -cscxcotx+ln|cscx-cotx| 2 +c

= 1 cosx + 3ln|cscx-cotx|-cscxcotx 2 +c.

五、不定积分∫ sinx asinx+bcosx dx的计算方法（ab≠0）

用万能公式解这类问题虽然有效，但比较烦琐，本文主要介绍以下两种方法：

1.可以通过待定系数法来求解，先将被积函数分解为

sinx asinx+bcosx = A（asinx+bcosx）+B（asinx+bcosx）′ asinx+bcosx ，将A，B解出，从而原积分化为

∫Adx+∫ B asinx+bcosx d（asinx+bcosx），然后进行计算.

2.可以利用三角函数关系式将分母写为两角和的正弦，并将分子也化为同一角的三角函数，然后拆项进行计算.

例12   求∫ sinx 2sinx+cosx dx.

解  先将被积函数分解为

sinx 2sinx+cosx = A（2sinx+cosx）+B（2sinx+cosx）′ 2sinx+cosx ，

整理得，sinx=（2A-B）sinx+（A+2B）cosx

比较恒等式，有 2A-B=1，A+2B=0，  解得，A= 2 5 ，B=- 1 5 .

于是∫ sinx 2sinx+cosx dx

=∫  2 5 （2sinx+cosx）- 1 5 （2sinx+cosx）′ 2sinx+cosx dx

=∫ 2 5 dx- 1 5 ∫ 1 2sinx+cosx d（2sinx+cosx）

= 2 5 x- 1 5 ln|2sinx+cosx|+c.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系，数学分析：第三版[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]曾海福，一道不定积分题的九种解法[J].科技信息，2011（23）：599.

[3]劉桂兰，季红蕾，黄素珍.一道三角函数有理式的不定积分的解法[J].数学学习与研究，2015（19）：104.

[4]沈淑兰.一类三角函数有理式的特殊积分方法[J].大庆师范学院学报，1996（4）：22-23，26.