对函数一致连续性教学的探讨

王玉磊 李彩娟 付宗魁 李金伟

【摘要】 函数的一致连续性是数学分析中一个重要的概念.本文借助几何直观，通过类比教学，研究了函数一致连续性的教学方法，使学生更易理解这部分内容，为以后的学习打下良好基础.

【关键词】 连续;一致连续性;不一致连续

函数的一致连续性是数学分析的重要概念之一.很多学生在初学此概念时，不易区分函数的连续性与一致连续性.在教学中，如果处理不好这一环节，会使学生对这部分内容理解困难，难以接受.本文结合自身的教学经验，对如何引导学生较好的理解这一概念，提供了一个教学思路以供参考.

一、问题导入

首先复习函数在区间上连续的概念，通过例子引入问题.

定义1  [1]  设函数f（x）在区间I上有定义.任取x 0∈I，若对任给的ε>0，总存在δ=δ（ε，x 0）>0，使得当|x-x 0|<δ时，有|f（x）-f（x 0）|<ε，则称函数f（x）在区间I上连续.

例1   证明函数f（x）= 1 x 在区间（0，1）上连续.

证明  根据定义1，任取x 0∈（0，1），对任意的ε>0，由于x→x 0，不妨限制|x-x 0|< x 0 2 ，则x> x 0 2 .要使|f（x）- f（x 0）|=   1 x - 1 x 0  = |x-x 0| xx 0 < 2 x2 0 |x-x 0|<ε，只需取δ=min  x 0 2 ， x2 0 2 ε ，则当|x-x 0|<δ时，总有|f（x）-f（x 0）|<ε.故f（x）在x 0连续.由x 0的任意性可知f（x）= 1 x 在区间（0，1）上连续.

从证明中可以发现，不管x 0在（0，1）中的什么位置，一旦取出，總可以找到与ε和x 0有关的δ（ε，x 0），使得当|x-x 0|<δ时，有|f（x）-f（x 0）|<ε.在它的函数图像（图1）中可以看出，若固定ε，会发现δ的取值与x 0的位置有关.

问题提出：会不会存在这样的连续函数，使δ的取值只与ε有关而不受x 0的位置限制？也就是说，不管x 0处于定义域的什么位置，总存在公共的δ=δ（ε），使得当|x-x 0|<δ时，有|f（x）-f（x 0）|<ε.

下面引出一致连续的相关定义.

二、引出定义

定义2  [1]  设f（x）为定义在区间I上的函数.若对任给的ε>0，存在δ=δ（ε）>0，使得对任何x′，x″∈I，只要|x′-x″|<δ，就有|f（x′）-f（x″）|<ε，则称函数f（x）在区间I上一致连续.

对定义2的进一步阐述：（1）若定义2中任意固定x′或x″，容易证明函数f（x）在区间I上连续.也就是说，若f（x）在区间I上一致连续，则f（x）在区间I上必连续.

（2）直观地说，一致连续就意味着无论两点处于区间I的什么位置，只要它们的距离小于δ=δ（ε），就可使 |f（x′）- f（x″）|<ε.

定义3  设f（x）为定义在区间I上的函数.若存在ε 0>0，对任意的δ>0，总存在x′，x″∈I，虽然|x′-x″|<δ，但是 |f（x′）- f（x″）|≥ε 0，则称函数f（x）在区间I上不一致连续.

三、通过举例，借助几何直观，巩固概念理解

例2   证明函数f（x）=sinx在（-∞，+∞）上一致连续.

证明  对任意的x′，x″∈（-∞，+∞），有

|f（x′）-f（x″）|=|sinx′-sinx″|= 2cos x′+x″ 2 sin x′-x″ 2  ≤2 sin x′-x″ 2  ≤2·  x′-x″ 2  = |x′- x″|.

因此，对任给的ε>0，取δ=ε，则对一切x′，x″∈（-∞，+∞），当|x′-x″|<δ，有|f（x′）-f（x″）|<ε.

故函数f（x）=sinx在（-∞，+∞）上一致连续.

几何解释：（1）从图2中可以看出，函数f（x）=sinx的图像总可以被一系列长为ε，宽为δ的小矩形覆盖.

（2）从图3中可以看出，若取x′或x″为x 0，不妨取x″=x 0，则不管x 0在何位置，当 |x′- x 0|<δ时，函数 f（x）= sinx的图像亦可被一系列长为2ε，宽为2δ的小矩形覆盖.

综合（1），（2）可以看出一致连续的函数必连续.

四、小 结

连续性是函数的局部性质，而一致连续性则是一种更强的连续性，是函数在区间上的整体性质.在教学过程中，通过几何直观和对比法，注重发挥学生的主观能动性，既让学生懂得了它们的关系，又使学生理解了它们的区别，这对于培养学生分析问题和解决问题的能力，激发学生学习兴趣有着重要的意义.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析（上册）：第三版[M].北京：高等教育出版社，2001：79-80.

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