中小学数学阅读教学策略的实践探索

吴乐乐，柏 杨，吴龙龙

（1.重庆市教育科学研究院，重庆 400015；2.重庆市大渡口区百花小学，重庆 400084；3.重庆市实验中学，重庆 401320）

数学起源于人类早期的生产活动，应用于解决实际问题，是一门古老的工具学科。数学学科的本质是一种语言，核心功能是交际工具。中小学数学课程标准明确指出，“数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具”[1]。“数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学、技术科学等科学的基础，而且在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥着越来越大的作用。”[2]引导中小学生学习数学语言、掌握数学语言、运用数学语言，进一步深化数学阅读、跟进数学表达、强化数学交流，最终实现掌握旧知、探究未知、获取新知、发展已知，提升数学核心素养已经成为中小学数学课程与教学改革关注的重点。

一、数学阅读是数学学习的重心

经济合作与发展组织、欧盟、加拿大、英国、法国、日本、新加坡等纷纷将“语言沟通与交流”“数学表达和理解”纳入21世纪学生发展核心素养。[3]数学作为一种科学语言和交际工具，其沟通与交流能力、理解与表达能力更是学生发展的关键能力和数学学习的侧重点。

数学语言，不仅具有汉语、英语、法语等语言具有的符号性、系统性、传承性和交际性等特征，更具有严谨性、准确性、简约性、不变性等特点。正如数学基本符号、基本公式、基本公理等，在任何国家所传递的信息均不会改变。数学语言已经成为全世界、全科学领域内通用的“无障碍”交际语言。

学习一门语言，最重要的是培养“听、说、读、写、译”五大能力，概括起来就是“输入”与“输出”两大维度的能力。通过“听、读”输入信息，通过“说、写、译”输出信息。结合数学学科的特点，数学语言的学习关键应该是培养学生的阅读与表达能力。数学阅读是数学表达的前提，为数学表达提供信息、奠定基础，是数学学习的关键。正如我们在语言学习过程中，第一个环节大体都是搞懂、明白、理解对方的意思，然后才有针对性地组织语言，做出相应的语言表达。

数学阅读是一种理解、领悟、吸收、鉴赏、评价和探究的思维过程。数学阅读是深入贯彻数学学科三大核心思想——抽象思想、推理思想和模型思想[4]，有效转化数学学科三大特征（也是三大重难点）——高度抽象性、严谨逻辑性和广泛应用性[5]，有效培养数学学科十大核心素养——数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识[6]的重要载体和重要保障。数学阅读能够实现抽象问题的具体化、生活化处理，能够科学有序地开展严格的逻辑推理及论证，能够准确建构数学模型高效解决社会实际问题。

中小学教育教学实践表明，数学阅读能力是优秀学生必须具备的关键能力，也是优秀学生变得更加优秀的关键能力。而绝大多数学困生，归因于数学阅读综合能力低，具体表现为：一是数学阅读兴趣低，内动力不足；二是数学语义理解能力、逻辑判断能力、分析概括能力、组织转化能力、联想创造能力等偏低，阅读基础薄弱；三是数学阅读材料以及方法的选择提炼能力低，阅读效果不佳。因此，数学阅读能力的培养是数学语言学习的核心，是数学课程实施的关键。

二、中小学数学阅读教学的着力点

认知结构主义心理学家布鲁纳强调学科结构的重要性，提出“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构”，指出“学科的基本结构是指一个学科围绕其基本概念、基本原理以及基本态度和方法而形成的整体知识框架和思维框架”。[7]“基本概念”“基本原理”“基本态度与方法”成为学生掌握学科基本结构的框架体系和关键载体。

数学作为一种思维形式的判断与推理，通常以定理、法则、公式等方式表现出来。林崇德指出，提高数学能力的关键是“合并同类项”，实质就是培养由个别到一般的概括能力。数学教学的重点在于讲清楚基本概念，而数学概念的掌握需要概括能力做基础，同时又促进概括能力的发展。[8]史宁中在《基本概念与运算法则》一书中，明确并强调了“基本概念”与“运算法则”是数学教学的核心内容。[9]李光树指出，数学概念、定理、公式、法则等以及它们之间的联系是构成数学认知结构的物质基础。[10]

结合数学教学实践，不难发现“基本概念”“公式法则”“基本定理”“问题解决”等，既是教师教学与学生学习的重心，也是考试评价的重心；既是培养学生运用数学语言、数学工具探究未知、获取新知的关键，也是发展理性思维和智力文化的关键。数学“基本概念”“公式法则”“基本定理”和“问题解决”成为中小学数学阅读教学关注的重要内容。

三、中小学数学阅读教学的策略

张楚廷指出，“哲学就是一门寻根究底的学问，或者说就是打破砂锅问到底的学问”[11]。数学被古希腊学者视为“哲学之起点”“学问的基础”，那么数学“基本概念”“公式法则”“基本定理”“问题解决”等阅读教学，更应该做到“咬文嚼字”“追根溯源”“厘定关联”等。

（一）基本概念的阅读策略——咬文嚼字、发散联想

数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。数学概念的教学一般要经过从孤立到系统、从抽象到具体、从表面到本质的过程[12]，基本策略是“咬文嚼字、发散联想”。

如“邻补角”是指“两个角，有一边是公共边，另一边是互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角”。阅读教学过程中，从质性的位置关系解读，“邻”就是“相邻、邻居”的意思；从量性的数量关系解读，“补”就是“互补”的意思，言外之意，满足“相邻”的位置关系和“互补”的数量关系的两个角，就是互为邻补角。邻补角不是一个角的性质特征，而是两个角之间的质性、量性关系。

又如“系数”是指“单项式中的数字因数”。阅读教学过程中，“系”要与“一女牵牛过独桥”的“牵”，也就是“在前边拉、拽”等关联起来。“系数”也要充当位居前边的角色，这与单项式的表达规则，即“数字因数写在字母因式之前”的规则相吻合。

按照“咬文嚼字”和“发散联想”相结合的方式开展数学基本概念阅读，能够深度解读、挖掘、理顺字与字之间的关联，能够准确掌握概念界定的科学性和严谨性，能够极大促进学生认知。

（二）公式定理的阅读策略——追根溯源、系统建构

数学公式定理通常具备三种功能：一是表达理论依据；二是表达规则及作用；三是表达遵循的基本程序或方法。公式定理是建立在数学基本概念之上的，是联结多个基本概念、厘清并表达概念与概念之间内在关联的核心主线。数学公式定理的阅读和学习，需要做到“追根溯源”“系统建构”，以理顺核心知识主线，强化认知联结。

如“一元二次方程求根公式”是在“降次”思想指导下，通过“配方法”，将等式的一边化成关于未知数的“完全平方式”，另一边化成不含未知数的式子，然后根据“求平方根”的运算，实现“降次”的目标。同时，根据“求平方根”的基本原则，得出“一元二次方程求根公式”有意义的条件是“被开方式子非负”，由此得出一元二次方程“根的判别式”结论。甚至通过设置问题，引导学生验算得出“韦达定理”的结论。

进一步延伸，“一元二次方程求根公式”是求解“一元二次方程”的通法，但不是唯一的方法。“一元二次方程”的求解是建立在“一元一次方程”的知识、方法储备基础上的。联想到“多元一次方程组的求解”是通过“加减消元、代入消元”等方法，将“多元”成功转化成“一元”，那么“一元二次方程”的求解也应该通过“降次”的思想，将“二次”甚至“高次”成功转化为“一次”，然后再求解。

“降次”的对立面是“升次”。我们可以通过“求平方根”，即“开平方”实现“降次”，还可以通过哪些知识实现“降次”？继续引导学生进行深入挖掘和系统建构，“开平方”的逆运算是“平方”，正如“除法”的逆运算是“乘法”，“因式分解”的逆运算是“整式乘法”一样。我们在“因式分解”中学过运用“十字相乘法”分解“二次三项式”，而“一元二次方程”含有未知数的一侧恰好也是“二次三项式”，如果我们能够把“一元二次方程”含有未知数的一侧因式分解成两个“一次因式”的乘积，那么也能够实现“降次”，求解出方程。这样，通过“一元二次方程求根公式”，我们把“完全平方公式”“配方法”“因式分解”“整式乘法”等知识与方法的内在关联进行了系统梳理和建构，促进学生数学知识图谱的建构和推导运用。

（三）综合问题的阅读策略——学思知行、双向转换

中小学数学课程的学习涉及“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”等四个领域，“知识点的琐碎性使综合应用题、几何证明题的求解具有多样性、困难性，使不少学生因难度大而难以解决此类问题”。[13]实践表明，“读不懂题意”“理不顺关系”是求解综合应用题、几何证明题的最大障碍。归根结底，原因在于不会用数学的眼光观察问题，不会用数学的思维思考问题，不会用数学的语言表达问题。[14]“数学的语言表达”是一切数学学习和教学活动的最终落脚点和最终升华点。这类综合问题阅读教学的基本策略是“学思知行”“双向转换”。

“学思知行”是数学教育的基本要求，也是处理数学综合应用问题和几何证明问题的基本策略。数学综合问题的解决过程是学、思、知、行相互交织、共同作用于学生学习和教师教学的整体。打造“学思知行”有机结合的数学课堂是破解课堂教学难题的一大突破口。[15]“学”要做到有目的、有计划、有组织，聚焦待解问题，提纲挈领地学习、掌握题干内容、已知条件的内在关联和主旨要义。“思”要做到解题思维“双向转换”、语言符号“双向转换”、方法思路“双向转换”，分析问题采取由问题到条件的逆向思维，解答问题采取由条件到问题的正向思维，细读、深究已知条件与待解问题之间的内在关联，确定解题思路，做到“能进能退”。“知”是建立在“学”与“思”的基础上的，是数学思想、数学知识、数学方法、数学策略等学科素养的综合体现，需要长时间的积累和升华。“知”能够为我们求解综合应用问题、几何证明问题提供“顿悟”式解题思路和策略，这与赫尔巴特建构的“基于已有经验、知识、兴趣、态度等而产生的一种自发心理活动，即统觉”是相一致的。“行”是综合问题阅读教学的最后一个环节，也是数学解题能力提升的最重要的一个环节。“行”是将“学”“思”“知”三个环节的分析、建构、顿悟等结论，用数学符号、数学语言表达出来的过程，需要做到思路清晰、逻辑严谨、简明扼要、表达规范。

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京:人民教育出版社，2012：1-5.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京:北京师范大学出版社，2012：1-7.

[3]黄四林，左璜，莫雷，等.学生发展核心素养研究的国际分析[J].中国教育学刊，2016（6）：8-14.

[4]史宁中.漫谈数学的基本思想[J].中国大学教学，2011（7）：9-11.

[5]曹培英.从学科核心素养与学科育人价值看数学基本思想[J].课程·教材·教法，2015，35（9）：40-43，48.

[6]马云鹏.关于数学核心素养的几个问题[J].课程·教材·教法，2015，35（9）：36-39.

[7]布鲁纳.布鲁纳教育论著选[M].邵瑞珍，张渭城，等，译.北京：人民教育出版社，1989:23.

[8]林崇德.从智力到学科能力[J].课程·教材·教法，2015，35（1）：9-20.

[9]史宁中.基本概念与运算法则[M].北京:高等教育出版社，2013.

[10]李光树.小学数学学习论[M].北京:人民教育出版社，2014.

[11]张楚廷.课程与教学哲学[M].北京:人民教育出版社，2003：18.

[12]徐同,翟士杰.高中数学概念教学浅议[J].当代教育科学，2015（6）：61-62.

[13]李灿钊.初中数学教学要注重学生综合应用能力的培养[J].中国教育学刊，2017（6）：106.

[14]史宁中，林玉慈，陶剑，等.关于高中数学教育中的数学核心素养——史宁中教授访谈之七[J].课程·教材·教法，2017，37（4）：8-14.

[15]马晓丹.“学思知行”是破解数学课堂教学难题的关键[J].中国教育学刊，2017（6）：106.