基于泰勒公式分析高等数学的解题技巧

司国星 闫丽娜

【摘要】泰勒公式作为高等数学中非常重要的数学公式，在高等数学中的应用非常广泛，为学生解决高等数学问题提供了十分重要的帮助.本文介绍了泰勒公式的具体内容，对学生在学习高等数学过程中产生的问题进行了相应的分析，提出了怎样运用泰勒公式提升高等数学的解题技巧的方法，加深学生的学习印象，促使学生在学习成绩提高的同时，培养学生的学习方法.

【关键词】泰勒公式；高等数学；解题技巧

一、泰勒公式的具体内容

在高等数学学习中，对于泰勒公式的应用十分普遍，通过利用泰勒公式将低级函数展开成为幂级数，求解函数的近似值.泰勒公式作为高等函数中的重要公式，在数学应用中具有重要作用.泰勒公式的具体內容为：设函数f（x）在点x0处的某邻域内具有n+1阶导数，对该邻域内异于x0的任意点x，在两点之中至少存在一点ξ，使得f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+12！f″（x0）（x-x0）2+…+f（n）（x0）n！（x-x0）n+Rn（x），其中Rn（x）=f（n+1）（ξ）（n+1）！（x-x0）n+1，ξ在x0与x之间.当公式中x0=0时，f（x）=f（0）+f′（0）x+12！f″（0）x2+…+f（n）（0）n！xn+Rn（x），此公式是泰勒公式的子公式，被称为麦克劳林公式.在高等数学的学习过程中对这两类公式的应用十分普遍.通常应用泰勒公式与麦克劳林公式解决函数的极限、求函数极值、应用到高阶导数之中，从而为高等数学的解题提供方便的回答方式，为学生对数学知识的学习提供了方便.泰勒公式在高等数学中的应用，让教师在为学生进行数学问题讲解时，简化了解题步骤，让数学的解题过程更便于学生的理解，提升了课堂效率.

二、学习高等数学产生的问题

学生在学习高等数学时面对陌生的数学问题，极易产生疑问.学生在面对数学疑问的过程中，并不懂得如何利用数学公式解决数学问题.因此，学生在学习过程中应加强对数学公式的理解，同时多做题、勤翻书，让自己对数学公式的印象更加深刻.学生在面对数学问题时总是把问题复杂化，如，在求解函数的极限时，学生运用公式的不恰当，让解题方法复杂化，从而降低了学生的学习兴趣，影响了学生学习成绩.学生在处理数学问题的过程中，应总结教师的解题方法，面对数学问题时，认真分析，抓住问题关键点，从而解决问题.学生在面对高等数学问题时，对问题分析的准确性低，对问题矛盾的主要方面与次要方面把握不到位，学生对公式应用的不熟练，促使学生无法解答数学难题.学生在把握数学问题主次时，可以通过同学之间的相互讨论，师生之间的相互交流，分析问题的主次程度，在这一过程中总结出适合自己的学习方法与学习习惯.学生在计算函数极值过程中对泰勒公式运用方法的不恰当，也让学生无法求出极值，从而影响数学问题的解答.在应用泰勒公式的过程中，学生对高阶导数的认知不够全面，不懂得怎样利用泰勒公式解决高阶导数问题.同时，学生对广义积分的收敛性判断不够准确，影响学生的运算过程，让学生产生错误的运算结果，从而影响学生的学习.面对以上情况时，学生应该加强对公式的记忆，在做题的过程中多应用泰勒公式解题，提高运用泰勒公式的熟练程度，从而提升数学成绩.

三、泰勒公式在高等数学中的解题技巧

（一）泰勒公式求函数的极限

函数作为高等数学中的一个难点.函数分为初级函数与高级函数，其中对于函数的极限求解也有不同的解决方法.泰勒公式在函数中的应用十分普遍，在函数的极限问题中，泰勒公式主要被应用于对函数极限结果的具体运算.以下用具体问题来说明.求 limx→0cosx-e-x22x4.解：cosx=1-12！x2+14！x4+o（x4），e-x22=1+-x22+12-x222+o-x222，所以 limx→0cosx-e-x22x4=-112.通过此计算过程，我们可以了解到，应用泰勒公式进行函数的极限求解过程中，学生对于泰勒公式的记忆一定要深刻，运用过程要熟练.泰勒公式在解答无穷小量中具有重要作用，泰勒公式被用于表达无穷小的阶数和具体的表达式中的系数.具体例子如下：已知，当x→0时，ex-1+ax1+bx相对于x为三阶无穷小，求a和b的值.解：首先要做的是把整个式子打开，ex=1+x+12！x2+13！x3+o（x3）+bx=1-bx+b2x2-b3x3+o（x3），所以ex-1+ax1+bx=ex-11+bx-ax1+bx=1+x+12！x2+13！x3-（1-bx+b2x2-b3x3）-（ax-abx2+ab2x3）+o（x3）=（1-a+b）x+12-b2+abx2+16+b3-ab2x3+o（x3），由整个题目的含义我们可以推断出1-a+b=0而且12-b2+ab=0，依据这个结果我们可以算出a=12且b=12.通过泰勒公式在函数极限与求无穷小中的应用，我们可以清晰地认识泰勒公式对于解答函数问题的帮助.学生通过对公式的熟练掌握，有利于对函数问题的解答，方便学生对函数问题的探索.在对函数的解答过程中加深了对函数题型的了解，为函数的学习打下了基础.

（二）泰勒公式在高阶导数中的应用

泰勒公式除了在函数中的应用以外，还可以用于高阶导数问题的解答.通过泰勒公式解答高阶导数问题，简化了学生的解题过程，让学生学习高等数学的过程更加轻松.泰勒公式指导了高阶导数的运算过程，为高阶导数的解答，提供了解题思路，同时泰勒公式还可以应用于更复杂的高阶导数之中.

（三）判断广义积分的敛散性

泰勒公式在高等数学中还可以应用于判断广义积分的敛散性，级数的通项表达式通常由不同类型函数表达式构成，函数的表达形式具有繁难性，往往是通过利用泰勒公式将级数进行简化或进行相应的运算简化，以便对广义积分的敛散性的判断.例如，讨论级数∑∞n=11n-lnn+1n 的敛散性.分析：在解题过程中直接根据通项判断函数是正级数或非正级数十分困难，所以也无法准确地判断其收敛性.注意到lnn+1n=lnn+1n，若将其中的幂函数运用泰勒公式将其展开，形成幂的形式，在开二次方后与1n相呼应，让其便于敛散性的判断.解：∵lnn+1n=ln1+1n=1n-12n2+13n2-14n2+…<1n，∴lnn+1n<1n，∴un=1n-lnn+1n>0，故该级数是正项级数，∵lnn+1n=1n-12n2+13n3+o1n3>1n-1n2+14n3=1n-12n32=1n-12n32，∴un<1n-1n-12n32=12n32，∵∑∞n=112n32收敛，运用正项级数比较判别法判断敛散性，知原级数收敛.泰勒公式通过对函数的展开与收缩简化了函数的敛散性的判断方式.泰勒公式对于广义积分敛散性的判断方式具有极强的简化技巧，让学生在运用过程中简化了解题步骤，提高了学生的学习效率.在判断敛散性的过程中通过应用泰勒公式提升了教师的讲课效率，让高等数学知识更加简便易懂.

（四）运用泰勒公式判断函数极值

泰勒公式在高等数学中的应用广泛，为学生的学习提供了极大的帮助.运用泰勒公式解决求函数极值的问题，让学生的解题过程更加简单，简化了解题过程，便于学生理解.同时，学生通过应用泰勒公式问题，提升了研究数学问题的兴趣.泰勒公式在函数极值中的应用，增加了课堂解题的灵活性.

四、结语

总而言之，高等数学作为一门基础性学科，在学习过程中对于公式的熟练应用十分重要，泰勒公式作为高等数学中最重要的公式之一，对于函数的极限、函数极值等问题的解答具有重要作用，提升了答题效率.同时，泰勒公式对于判断广义积分的敛散性也能起到重要作用.学生通过掌握泰勒公式在各种高等数学问题中的应用，提升了自身的答题技巧，培养了正确的数学学习方法，提升了数学成绩.泰勒公式在教学课堂中的使用，便于学生对于数学问题的理解，让教师的讲课内容更加通俗易懂，提升了课堂的教学效率.

【参考文献】

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