渗透单元整体教学理念 致力发展学生数学素养——以《锐角三角函数（第1课时）》教学为例

邓秀荫

（龙岩一中分校，福建 龙岩 364000）

数学的整体性体现在代数、几何、三角等各部分内容之间的相互联系上，同时也体现在同一部分内容中知识的前后逻辑关系上。学生的学习是循序渐进的，概念要逐个学，知识要逐步教。如何处理好这种矛盾，是教学中的核心问题。单元整体教学的构想，要打破传统的教学思路，破除“一课一学”的局面，运用系统、联系的观点看待教学，通过知识体系、单元主题、知识逻辑关系、数学规律方法、数学思想、解题思路等内在联系将教学内容加以整合，实施单元整体教学，节省教学时间，突出学科素养培养，提高学习整体效益。笔者将以《锐角三角函数（第1课时）》教学为例，说明在教学中渗透单元整体教学理念、致力发展学生数学素养的实践体会。

一、注重章引言教学，创设情境引入核心内容

数学的发展来源于实际需要或数学内部的需要。为了体现本章核心知识的自然性以及学习的必要性，注意从实际问题或数学问题出发，通过创设适当情境加以引入。

环节1：如何引出本章的主要内容

章引言从比萨斜塔纠偏的实际问题出发，研究用塔身中心线与垂直中心线所成的角来描述比萨斜塔的倾斜程度的问题，引出本章所要研究的主要内容。

从数学角度看，上述问题就是：已知直角三角形的某些边长，求其锐角的底数。对于直角三角形的边角关系，已经研究了什么，还可以研究什么？本章在前面已经研究了直角三角形中三边之间的关系、两个锐角之间的关系的基础上，通过引进锐角三角函数建立了直角三角形中边与角之间的关系，使学生全面掌握直角三角形的组成要素（边、角）之间的关系，并综合运用锐角三角函数、勾股定理等知识解决与直角三角形有关的度量问题。

环节2：引出研究直角三角形中边角关系的具体内容和方式

从什么角度研究直角三角形中边角之间的关系，以及建立边与角之间的何种关系，是引入锐角三角函数时的首要问题，也是关键环节。

问题如图，为了绿化荒山，市绿化办打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，对坡面的绿地进行喷灌。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35 m，那么需要准备多长的水管？

在解决这个实际问题的过程中，需要用到结论“在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半”，其等价形式为“在直角三角形中，30°角所对的边与斜边的比总是常数”，后者反映了直角三角形中30°角和该角的对边与斜边的比之间的对应关系。

由此获得启示，建立直角三角形中边角之间的关系，可以通过研究锐角和它的对边与斜边的比之间的关系进行，从而引出研究直角三角形中边角关系的具体内容和方式。

二、按认识规律设计教学，培养学生系统思维

以数学知识的发生发展过程为载体，按学生的认知规律设计教学，使学生经历研究一个数学对象的基本过程，提高学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，培养学生认识和解决问题的能力。培养系统思维，是为了使学生养成全面思考问题的习惯，避免“见木不见林”，进而使学生在面对数学问题时，能把解决问题的目标、实现目标的过程、解决过程的优化以及对问题的拓展、深化等作为一个整体进行研究。这样，“使学生学会思考，成为善于认识和解决问题的人才”的教学目标就能落在实处。

环节3：锐角三角函数的定义过程

以“比萨斜塔纠偏问题”引入，以“对于直角三角形，我们已经知道三边之间、两个锐角之间的关系，它的边角之间有什么关系呢？”提出问题，然后研究锐角的正弦，再给出锐角的余弦、正切。

环节4：锐角的正弦的定义

先利用“直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半”，得到30°角所对的边与斜边的比值；再讨论45°、60°角所对的边与斜边的比值；然后讨论一般情况：相似直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比，随着这个锐角的变化而变化，随着它的确定而唯一确定，把Rt△ABC中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦。

环节5：锐角三角函数概念的展开

1.课题的引入。从实际需要看（比萨斜塔纠偏问题）；从数学内部看（以往讨论了直角三角形边与边的关系、角与角的关系，边与角有没有确定的关系）。

2.概念属性的归纳。从最熟悉的问题开始：在直角三角形中，30°角所对的边与斜边的比值是1/2。

思考：由这个结论能解决什么问题？

当∠A=30°时，已知斜边就可求出∠A的对边，反之亦然。

在直角三角形中，当∠A的度数分别为45°、60°时，锐角A的对边与斜边的比是多少？由此能解决什么问题？

猜想：在直角三角形中，任意给定锐角A，∠A的对边与斜边的比值是否为一个确定的值？

进一步猜想：在直角三角形中，任意给定锐角A，∠A的邻边与斜边的比值、∠A的对边与邻边的比值是否也都是一个确定的值？

《几何画板》演示、探索与验证，然后证明。

归纳：在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值，∠A的邻边与斜边的比值、∠A的对边与邻边的比值也都是一个固定值。

3.概念的明确与表示。下定义，用符号表示。

4.概念的辨析。（1）∠A为 Rt△ABC的锐角，△ABC的大小可以变化，但∠A的对边与斜边的比值不变，即对于每一个锐角A都有唯一确定的比值与之对应，这个比值叫做∠A的正弦；∠A的邻边与斜边的比值不变，即对于每一个锐角A都有唯一确定的比值与之对应，这个比值叫做∠A的余弦；∠A的对边与邻边的比值不变，即对于每一个锐角A都有唯一确定的比值与之对应，这个比值叫做∠A的正切。

（2）符号sin A，cosA，tanA的理解:一个由A唯一确定的数，如sin30°=1/2 等。

（3）锐角三角函数定义中，sinA不是sin与A的乘积，sinA是一个整体，表示∠A的正弦、余弦、正切类似。

5.概念的巩固应用。已知直角三角形的边求锐角三角函数值等。

在《语言、语境和语篇》（Halliday&Hasan 1985）一书中，Hasan扩大了衔接概念的覆盖范围，把衔接分为非结构衔接和结构衔接。非结构衔接中的成分衔接包括指称、省略、连接词语和词汇衔接。结构衔接是指平行对称结构、主位—述位结构、已知信息—新信息结构。

6.概念的精致。解直角三角形。

三、加强探究过程，揭示概念内涵，发展思维能力

对一些在重要知识点或关键环节，提供学生探索交流的空间，发展学生的思维能力。

本节的一个重要教学目标是使学生探究并理解锐角三角函数的概念，教学中让学生充分经历“实际问题引入—研究特殊直角三角形—研究一般直角三角形—给出锐角的正弦概念”的定义过程，在探究直角三角形中锐角的对边与斜边之比的不变性上下足功夫。

这样的探究过程可以帮助学生理解锐角三角函数的内涵：锐角三角函数建立了直角三角形中边与角之间的关系，具体地，在直角三角形中，对于一个确定的锐角，它的正弦、余弦、正切分别表示这个锐角的对边与斜边之比、邻边与斜边之比、对边与邻边之比，它们分别都是确定的值。

四、注重揭示知识间的联系，呈现研究问题的方法

相似三角形的性质是锐角三角函数概念的基础，只有利用“相似三角形的对应边成比例”才能得到锐角三角函数定义的合理性，在给出锐角三角函数定义的过程中必须充分利用这一知识联系性。

在“理解概念，巩固提高”环节中，设计如下例题与练习：

如右图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB=13，BC=5，求 sin A，cosA，tanA的值。

变式：如图（与例题同），在

Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC=12，BC=5，求∠B的正弦值、余弦值和正切值。

思考：观察例题与变式的题目和计算结果，你发现了什么?

巩固练习：

1.判断下列结论是否正确，并说明理由。

（1）如图1，sinA=0.6m 。（ ）

（2）在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，tanA的值也扩大100倍。（ ）

（3）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则

（4）如图3所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin

通过例题与变式，巩固锐角三角函数概念，规范学生的解题格式；引导学生及时总结解题关键，注意观察题目条件的变化、总结结论之间的关系；通过巩固练习，进一步巩固锐角三角函数概念，加深对它们的理解；引导学生及时总结解题关键和注意事项，总结解题方法，提高解题能力；从中体会数形结合思想、转化思想解决问题。

在“归纳小结，反思提升”环节中，设计如下问题引导学生梳理学习内容，及时归纳总结研究数学问题的思路，提炼学习过程中的数学思想方法，学会研究问题的方法。

1.本节课我们学习了哪些知识？

2.研究锐角正弦的思路是如何构建的？

3.你学到哪些研究数学问题的思想方法？

在“布置作业，拓展提升”环节中，作业设计分必做题与选做题，满足不同层次学生需求；设计例题、巩固练习的变式题、拓展提高题，加强知识间的联系，有利于拓展学生思维。

五、加强与实际问题的联系，培养学生应用意识

锐角三角函数和解直角三角形是紧密联系的，锐角三角函数是解直角三角形的基础，解直角三角形的理论又为解决一些实际问题提供了强有力的工具。因此教学中应注意加强与实际的联系。

例如，本节课通过比萨斜塔引出本章的主要内容；利用确定山坡上所铺设的水管的长度问题引出锐角的正弦。

六、注意数形结合，发展学生几何直观和想象能力

锐角三角函数的一个突出特点是其概念的产生和应用都与图形有着密切的联系。锐角三角函数具有鲜明的几何意义，其自变量是锐角，函数值是直角三角形中两条边的比值，因此本章内容是体现数形结合思想的良好载体。

例如，对于锐角三角函数的概念，利用学生对直角三角形的认识（在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半，有一个锐角为45°的直角三角形是等腰直角三角形）以及相似三角形的有关知识引入的，结合几何图形来定义锐角三角函数的概念，将数形结合起来，有利于学生理解锐角三角函数的本质。

［1］邓秀荫.单元整体教学中渗透数学思想方法的研究［J］.中学数学研究，2015（10）.

［2］章建跃.整体性、系统思维与核心素养［J］.中小学数学，2016（10）.

［3］姜风平，侯丙生.换一种教法：单元整体课程实施与评价（初中数学）［M］.济南：山东文艺出版社，2013.