高中数学解三角形常用策略之研究

邢敦菊

【摘要】解三角形是苏教版高中数学教材必修五的内容，这一章节是高考数学的必考点，也是基础的数学知识，这一部分内容通常会作为较易题来考查，也是学生容易出错的知识点.解三角形有固定的解题策略和解题思路，本人结合多年的教学经验，总结出以下几点的解题策略，仅供参考.

【关键词】高中数学；解三角形；解题策略

解三角形是在学习了三角函数、平行向量的基础上，通过对任意三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形边与角之间关系，并运用他们解决一些实际问题的知识.解三角形通常离不开正弦定理和余弦定理的运用，这一点也是这一章的课标要求.而因题制宜地运用这两个定理，就需要以下几种解题策略的支撑.

一、转化与划归

所谓的转化与划归思想，就是通过对原题目的观察与分析，根据做题经验将原题目转化为新题目，通过对新题目的求解，达到对原题目求解的目的.这一思想不仅是解答数学题时常用的策略，也是一种重要的教学思想和解决问题的方法.在数学中，常见的转化与划归思想就是“切划弦”“抽象化具体”“角化边”“边化角”.以下题为例：

在△ABC中，已知b=2，c=1，B=45°，则a等于（ ）.

A.6-22

B.6+22

C.2+12

D.3-2

解析 由正弦定理，得sinC=csinBb=sin45°×12=12，又b>c，∴C=30°，从而A=180°-（B+C）=105°，∴a=bsinAsinB，得a=6+22.

答案 B.

这道题就是通过运用正弦定理，将解三角形问题转化为熟悉的三角函数，再进行求解，降低了题目的难度，也加快了解题速度，为后面较难的题目节省足够的时间[1].

二、函数与方程思想

从专业的角度来说，函数与方程是两个不同的思想，只是这两类思想通常会结合起来运用.所谓函数，就是通过观察各个变量，建立彼此之间的关系，从而建立函数关系，构造函数图像.函数思想是挖掘题目的本质，将题目“抽筋扒皮”恢复到最原始的状态，这样就为解题提供了很大的便利.所谓方程思想，和函数类似，通过分析变量间的关系，建立方程或方程组.函数思想与方程思想是合二为一密不可分的，也是可以相互转化的，这一思想是高中数学最重要也是最基本的思想[2].

以下题为例：△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边.如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为23，那么b为多少？这道题就是运用数学语言将数学条件转化为方程.函数与方程思想也是考试中心发布的考试大纲中提及的高考常用几大数学思想之一，其重要性可见一斑[3].

三、数形结合思想

数形结合思想是数学中最常用的思想，只要涉及抽象思维的题，基本都离不开这一思想的运用.所谓数形结合，就是根据数与形之间的关系，将数与形相互转化，从而更直观地观察出各个条件之间的关系，建立联系.数形结合最重要的作用就是辅助做题，以数辅形，以形解题，将复杂的问题简单化，抽象的问题具体化.同样以下题为例：在△ABC中，已知B=2A，∠ACB的平分线CD把三角形分成面积为4∶3的两部分，则cosA等于多少？这道题不画图单凭想象，解出来是很费时间的，但是如果以图形辅助做题，难度就大为降低了：画出一个三角形，标上边和角，由A与B的度数之比，得出AC大于BC，利用角平分线定理根据角平分线CD将三角形分成的面积之比为4∶3，得到BC与AC之比，再利用正弦定理得出sinA与sinB之比，将B=2A代入并利用二倍角的正弦函数公式化简，即可求出cosA的值.其实在任何题目中，都可尝试用数形结合的方法解题，即便有的题目不适用于数形结合，相信这种方法也会让思路柳暗花明.

四、分类讨论思想

由于有的题目给出的条件不具有普适性，所以通常情况下我们会根据题目要求将数据分类，匹配不同的条件，让题目中冗杂的条件简洁化，一来让题目更具有直观性，二来避免出现错误.数学中最简单的分类讨论思想就是，比如，当x>1时，F（x）=A，当x≤1时，F（x）=B.分类讨论时要注意细节，掌握分类讨论的原则和方法，做到不遗漏、不重复.在解三角形中，分类讨论思想不是常用的策略，但却是大纲中强调的一种思想，因此，我们应该给予足够的重视，在平时的联系中注重这种方法的应用.举个例子，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ac=3，三角形ABC的面积为334.（1）求B；（2）若b=2，求△ABC的周长.解：（1）因为S△ABC=12acsinB，所以12×3sinB=334，即sinB=32.又因为0

五、整体思想

整体思想一般有整体代入和整体求值两种方法，都是数学中常用的思想，当由已知的条件无法求出数据的值时或者求法比较烦琐时，常用整体代入的思想求出整体的值.而整体求值思想常用于解三角形题目中，求三角形面积时，通常会结合正弦定理或余弦定理求出各个边长及各个角度的正弦余弦值.

例如，已知1a-1b=4，则a-2ab-b2a-2b+7ab的值等于多少？根据条件显然无法计算a，b的值，只能考虑在所求代数式中构造出1a-1b的形式，再整体代入求解.

总之，解三角形是高考数学中基础又不容易拉开差距的一部分，但同时又是高考中占比较大的一部分，同学们万万不能在这一章节上面失分，值得同学们引起重视.解三角形在高考中處于较易题的程度，要想拿满分需要掌握固定的“套路”，毕竟“自古套路得人心”，相信同学们掌握了上述几种解题策略，并在平时的训练中多加练习，相信同学们在解三角形时就会得心应手了.

【参考文献】

[1]唐瑞芬，朱成杰.数学教学理论选讲[M].上海：华东师范大学出版社，2001.

[2]李玉琪.中学数学教学与实践研究[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M].北京：北京师范大学出版社，2001.