对直线与圆方程问题的探析

张伟锋

【摘要】本文对直线与动圆的位置关系、用直线与圆的方程解决几何问题、利用直线与圆的方程解决实际问题这三类情况进行讨论.以期对直线与圆的方程教学有所参考.

【关键词】高中数学；直线与圆方程；解题探索

直线与圆的方程是高中数学学习的重要内容，由于直线与圆的方程包含内容比较多，题目的类型非常灵活.笔者结合教学实践，对直线与动圆位置关系、用直线与圆方程解决几何问题、利用直线与圆方程解决实际问题这三类情况进行讨论.

一、直线与动圆位置关系的参数问题

判断直线与圆的位置关系是解决许多问题的基础，其常用判断方法有两种：一是求出圆心到直线的距离再与半径比较；二是把直线方程代入到圆的方程中，得到一元二次方程，再根据判别式来判断.在讨论直线与动圆的位置关系时需要灵活运用这些条件来判断.

例1 已知圆的方程如下：x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0（m∈R）.

（1）求证：无论m取什么值，该圆的圆心都在同一条直线L上.

（2）和L平行的直线中有哪些直線和该圆相离、相切、相交？

（3）证明：任意一条和L平行并且和圆相交的直线被圆截得的弦长是相等的.

解析 （1）对圆的方程进行配方，写成标准形式（x-3m）2+[y-（m-1）]2=25（m∈R）.设动圆的圆心是（x，y），所以x=3m，y=m-1， 消除m后可得直线L方程是：L：x-3y-3=0，圆心在此直线L上，因为直线L方程与m无关，所以无论m取什么值圆心都在直线L上.

（2）假如和直线L平行的直线方程是：L1：x-3y+b=0，则圆心到直线L1的距离是：d=|3m-3（m-1）+b|10=|3+b|10，∵圆的半径r=5，∴当dr时，即b>510-3时，直线与圆相离.

（3）∵L1：x-3y+b=0与直线L平行，并且圆心到L1的距离是d=|3+b|10，∴弦长=r2-d2=225-（3+b）210，由此看出弦长与m无关，本题得到证明.

点评 解决直线与动圆的位置关系既可用代数法，又可用几何法，但几何法比代数法运算量小，而且也比较形象直观，因此，解答此类题目常用几何法.

二、利用直线与圆方程解决几何问题

利用直线与圆的方程可以方便、快速解决平面几何中的一些问题，从而使平面几何题的证明又增添了一种新的方法和手段.

图1

例2 如图1所示，在一个圆O上任意取一点C，再以此点为圆心作圆C，并且让圆C和圆O的直径AB在D点相切，两个圆相交于E，F两点，已知EF与CD相交于P点.求证：线段EF平分CD.

解析 本题用数形结合的方法可容易证明.

以圆O直径AB所在直线建立x轴，以圆O圆心为坐标原点O建立坐标系.假设（AB）=2r（r>0），D点坐标是（a，0）（0

点评 利用直线与圆的方程来解决平面几何问题，其解题思路是数形结合的思想的运用.“以数辅形”和“以形助数”是解题的常用方程，通过两者的结合就能快速找到解题的思路与方法.

三、利用直线与圆方程解决实际问题

利用直线与圆方程解决生活中的实际问题，每年都会在高考大题中出现，对此应高度重视.在学习直线与圆的方程这部分内容时，应特别重视其在解答实际问题中的灵活应用.

例3 在某风景区内有P，Q两个景点，它们在一条公路的同侧，两景点分别距离公路是2 km，22 km，且P，Q两点之间距离是2 km.如果要在公路上建立一个观景点，使P，Q两个景点在进入人的视线时有最好的拍摄与观赏效果，问这个景观点应位于何处？

图2

解析 要想使P，Q两个景点有最佳的观赏效果，就要使观景点对P，Q有最大的角度，根据平面几何知识可得出，景观点是过P，Q这两点的圆与公路所在直线的切点.可利用直线与圆的方程来解决.假设以公路所在直线建立x轴，过B点建立y轴来建立直角坐标系.从图中知两点坐标是：P（2，2），Q（0，22），假设圆方程是（x-a）2+（y-b）2=b2，因为P，Q两点在圆上，把两点坐标代入圆的方程中得（2-a）2+（2+b）2=b2，a2+（22-b）2=b2， 解方程可求出a=0，b=2 或a=42，b=52， 根据实际情况可知a=0，b=2 符合题意要求，所以圆的方程是：x2+（y-2）2=2，从图中可看出圆的切点是坐标原点O，即景观的设置点为O.

点评 解决实际问题时，应先建立数学模型，再结合平面几何知识来分析曲线的形状，然后求出曲线的轨迹方程，就能使问题解决.

总之，直线与圆方程应用范围非常广泛，因此，在求解直线与圆的方程问题时，应遵循“一建二算三译”的解题思路.即建立恰当的坐标系；再通过代数运算，来解决代数问题；最后把代数运算结果“翻译”成几何结论，就能把问题解决.