海伦三角数

所谓“海伦三角形”是这样一类三角形：其三边的边长及面积的数值都是正整数。而如果海伦三角形△ABC对应的三边分别为a，b，c则a，b，c称为一组“海伦三角数”，我们简称之为“海伦数”。为方便计，在以下的讨论中我们总是假定三角形△ABC的最大角是角C。

为了便于论述，我们把三条边的边长及面积均为有理数的三角形称为“准海伦三角形”，相应的边长为a，b，c称为“准海伦三角数”，简称为“准海伦数”。相似地，如果一个直角三角形的三边均为有理数，则称这个三角形为“准勾股三角形”，称这组数为“准勾股数”。根据勾股数所满足的公式（不熟悉这方面内容的读者可参考相关资料，例如本刊2015年第10期），我们不难得到如下结论：

结论1 任意一组勾股数都是一组海伦数，任意一组准勾股数都是一组准海伦数。

另一方面，如果海伦三角形A对应的三边分别为a，b，c从角C作AB的垂线CD，则由于边长与海伦三角形的面积都是正整数，因此这条垂线CD的长度h是有理数。同时，由余弦定理知cosA是有理数，所以线段AD也是有理数，故垂线CD將底边c分成两个有理数。也就是说，垂线CD把△ABC分割成两个直角三角△ACD和△BCD，它们的边长是两组有理数。因此有：

结论2 任何海伦三角形都由两个准勾股三角形拼接而成。

下面我们来研究海伦数的构造。设△ABC对应三边分别为a，b，c，s为△ABC的半周长，r为其内切圆半径，S为面积。其中a，b，c及S都是正整数。endprint