问题解决视角下数学关键能力的培养

许德红

[摘 要] 核心素养强调“关键能力”的培养，在初中数学教学中，关键能力可由课程标准中的核心概念来描述，而对核心概念也可以进一步概括. 研究者指出，数学建模能力、数据分析能力、数学运算能力和数学沟通与交流能力这四种能力，是核心素养培育的基础. 本文在实例分析的基础上，提出了关键能力培养的思路.

[关键词] 初中数学；问题解决；关键能力；核心素养

根据从上位的核心素养到下位的学科核心素养的逻辑关系，初中数学教学需要切实培养学生的“关键能力”，以支撑核心素养大厦的构建. 吕世虎、吴振英等人认为，问题解决是核心素养落地的重要环节，而问题解决作为数学学习能力提升的重要途径，其又是由多个环节构成的，这些环节包括数学建模、数据分析、数学运算和数学沟通与交流等. 纵观这四个环节，可以发现其既与课程标准中的九个核心概念有关，同时又不完全相同. 从这四个方面来认识问题解决，及问题解决视角下学生数学学习中关键能力的培养，可以让教师更简洁、科学地认识数学学习的本质，从而切实培育学生的核心素养.

数学建模，问题解决的能力基础

数学建模就是建构数学模型，数学建模能力就是学生利用已有知识建立数学模型，以将实际问题转换为数学问题，并在数学问题解决之后对数学模型进行更高层次地认识的能力. 由此可见，数学建模是数学问题解决的重要基础. 这里通过一个例子来说明.

“一元二次方程”的教学中，为了帮学生建立起一元二次方程的模型，教师可以向学生提供一个实际问题，让学生在问题解决的过程中感悟一元二次方程模型的作用，同时体验数学模型在问题解决中的作用. 笔者是这样设计的：某学生在社团活动想设计一个人物雕塑，他为了让雕塑能够给人美感，查阅到了最佳的比例关系，即雕塑人物的腰线以下与全身的比例，要等于腰线以上与腰线以下的比例. 如果他想设计的雕塑是0.6米，那腰线应该在多高处？

这一问题设置在社团情境中，学生有一定的熟悉感，而其中的比例关系相对复杂，需要学生思维的深度参与. 在此过程中，如果直接根据题目的文字描述，要建立起比例关系还是比较复杂的，实际教学中可以让学生先行尝试（自主解决问题），而教师则可以在巡视的过程中发现用画图方法解决问题的学生. 然后在建立方程时，让这个学生到黑板上板演：于是一根竖着的线段表示雕塑，上下端点A和B分别表示雕塑人物的头与脚，从中确定一个点C作为腰线，设BC的长为x，那AC的长则为0.6-x，于是根据比例关系■=■，进而得出■=■. 其后，引导学生对此式进行整理以得到x2+0.6x-0.36=0，进而从“元”与“次”的角度定义类似于此的方程. 至此，解决问题的主要过程已经完成，剩下的即为解方程. 从建构模型的角度来看，方程的得出并不意味着模型已经建立，此处要再引导学生思考：我们是怎样寻找到解题思路的？

这个问题有助于促进学生形成数学模型的意识，因为学生在反思的过程中，重点会锁定在两个方面：首先，学生会说是方程所起的作用. 教师则可追问：方程又是如何得来的呢？学生自然会回答是根据比例关系得出的，那题目中的比例关系为什么会变成一个等式，为什么有的小组的学生就没有发现这一点？于是就有学生提出画图也是一个重要环节，即用一个线段及相应的点，来表示雕塑及其比例的要求. 因此，本题中的模型意识培养有两个环节：一是实际雕塑变成线段，二是比例关系演变得到一元二次方程. 前者是对实物的抽象，后者是抽象后得到的数量关系.

这个环节中，只要让学生认识到这两点，尤其是认识到因为有了方程，才使问题的解决成为可能，这是数学建模的关键，自然也就是抽象能力得以培养的关键.

数据分析，问题解决的能力保障

对数据分析的认识，不少同学都存在误区，认为数学解题的关键在于面向问题列式求解，数据分析只是低水平的处理数据的事情. 这一认识的形成，很大程度上源于教师在数学教学中轻视数据分析. 事实上，今天的数学学习背景下，数据分析是学生利用不同的手段从数据中提取信息与数据、判别信息与数据、运用信息与数据，进而思考其与现实问题解决相关性的重要过程，数据分析反映了学生的基本数学素养.

在初中数学中，数据分析的主要环节存在于数学知识的运用过程中. 例如“利用二次函数求最大利润”之类的问题，这类问题常常取材于生活实际，是学生在生活中相对熟悉的，同时又可以较为直接地运用数学工具来求解. 例如，某商场的商品原为每件60元，每个月可以销售300件. 如果价格每上调1元，则销售量减少10件，如果每下调1元，则每月可多卖20件. 已知该商品的进价为40元，那如何定价才能保证每月利润最大？

显然，此问题解决的过程中，关键在于对其中“量”的确定与关系的把握. 而本题中涉及一个进价，三种售价，三种对应的销量以及相应的利润，这样的数据关系是不容易把握的，怎么办呢？可以利用上面所说的模型思路，用表格来呈现具体的关系. 教师可从量的角度，确定表格的行列要素：“行”由售价、单件利润、销售量、总利润组成，“列”由原价和调后价组成. 这是一个相当复杂的过程，同时又是一个让学生研究题中的数据（量），进而发现数据之间关系的过程. 具体地说，从原价60，到调价后的60+x，从原利润20到调价后的利润20+x，从原销售量300到调价后的300-10x，进而得出原来的总利润是20×300到调价后的总利润（20+x）（300-10x），到此时为止，基于数据分析的总利润的表达式也就出来了.

此过程中，学生的思维其实是经历了从复杂到简单的过程，之所以能够从复杂到简单，数据分析功不可没. 学生提取出售价、单件利润、销售量、总利润的过程，就是数据分析的过程.

数学运算，问题解决能力的体现

数学运算是利用数学法则和運算律进行运算，并在此过程中理解运算的算理，进而寻求更简洁、科学的运算途径的过程. 数学运算重在逻辑的运用，更重视通过逻辑思维提升学生的运算技能. 初中数学教学的一个优秀传统，就是在运算的过程中追求优化运算的技巧，从问题解决的视角来看，这有助于学生形成良好的数学直觉，而这正是核心素养所强调的“关键能力”的重要组成部分.endprint

例如，在一元二次方程的求解中，学生能否迅速反应出x2-4x+4=0是完全平方式，而x2+4x-4=0不是完全平方式；能否迅速反应出x2+5x+6=0可以转换成（x+2）（x+3）=0. 这实际上就是学生运用数学规则水平的体现，就是数学运算能力的体现. 在实际教学中，经常看到学生在此类问题上出错的情形，在矫正的时候，我们通常从规则理解与运用的角度对学生进行重复性训练，而不是纯粹地习题重复. 这样的训练，好处在于可以促进学生程序化思考能力的提升，有助于学生的逻辑思维向直觉思维转变. 同时我国初中数学教学的另一个传统，即追求简便运算，实际上也是引导学生在问题解决中、在习题解答中优化解题思路，熟悉运算法则. 从这个角度讲，数学运算体现着问题解决的能力与水准.

需要指出的是，在問题解决的过程中，学生既有个体学习，也有合作学习，而合作学习就必然涉及学生之间的沟通与交流问题，这看起来与问题解决没有直接关系，但实际上却是学生数学语言运用能力的重要体现，下面对该环节进行阐述.

数学沟通与交流，指向默会知识

沟通与交流是未来学生最基本的能力，沟通与交流的过程中学生很少会即时进行程序式的思考，往往都是直觉反应的结果，因而沟通与交流的能力也就具有了默会知识的特征. 数学沟通与交流，强调对数学语言、工具的运用，强调数学语言使用的迅捷化，而这涉及学生对数学信息的提取与加工，以及对知识的熟练程度. 其一个重要的体现场合，就是数学学习过程中的小组讨论环节.

例如，在“勾股定理”这一内容的教学中，笔者注意到让学生通过面积关系来证明勾股定理的时候，或者在让学生表述勾股定理的时候，有些学生所用的语言过于生活化. 有学生说“一个角是九十度的三角形，它的两个边的平方加起来正好等于另一个边的平方”，这样的表述可能并不是普遍现象，但比较普遍的是其中的某些问题总在不同学生个体身上出现，这实际上给初中数学教学带来了新的研究命题：怎样才能让学生对数学语言的运用变得更加自然？

一个有益的经验是：实际教学中，教师要注意自己的教学语言. 在新的数学概念建立之时，可以多用生活语言，这样容易靠近学生的认知基础；而在概念建立之后，在概念或规律运用期间，一定要注意自己的课堂口头语言，要保证向学生传递的信息是用纯正的数学语言来表述的. 只有这样，才能让学生在数学学习的过程中，慢慢形成运用精确数学语言的意识与能力，也就是一种默会知识.

总之，在初中数学教学中，基于问题解决来培养学生的“关键能力”，既可以为数学学习提供一条主线，又可以让学生的关键能力得到培养，从而为核心素养的培育奠定基础，因而这对一线教师有一定的参考借鉴意义.endprint