基于波利亚解题模型在高中数学解题教学中的应用分析

钱雨森

【摘 要】波利亚的解题模型是在世界上流传较广且影响深刻的解题模型，在数学中尤其是高中数学中被广泛运用。本文通过介绍波利亚模型的主要内容，以及对具体数学题型的运用来阐述该模型在高中数学解题中的作用，以帮助学生提高解题效率，教师完善教学工作。

【关键词】波利亚解题模型；高中数学；应用分析

1.何为波利亚解题模型

在近代，产生了许多解题模式，主要有早期桑代克所提倡的“试误说”，到美国著名教育家杜威提出的阶段解决模型，最后是心理学家皮亚杰的认知心理模型。虽然这些研究对于教师认识学生的认知问题有重要意义，但数学问题相较于其它学科有自己独特的学科特点，还应当具体问题具体分析，上述解决模式并不一定能够完全适用于数学解题过程中。因此随着科学分类研究的日益细化，也产生了许多学科数学的相关研究包括数学解题模型在内，其中影响最为深远的当属波利亚解题模型。

波利亚解题模型是波利亚的经典书目《怎样解题》中的重要理论，他将该模型分为四个部分：第一，看到数学题目时应先理清题目思路，看清题目的已知、未知还有所求问题；第二，分析题目的各个要素包括已知、未知、问题之间的相互联系，找到解题的方向所在，形成基本的解题策略；第三，将解题策略具体运用于数学题目中；第四，对整个解题过程包括理解题目、思路的形成、计划的执行检验评价。

2.波利亚解题模型在高中数学解题中的具体运用

波利亚的解题模型的重要思想除了包括上述的四个部分，还包括更加细致的四个模型，分别是双轨迹模式、笛卡尔模式、递归模式、叠加模式。这四种解题模式被更多的运用于数学实际解题过程中。

（1）双轨迹模式

双轨迹模式要运用两条轨迹来解题，类似于换位思考的思想。譬如我们确定三角形ABC，已知为边a、点B、点C，未知为点A，问怎么确定点A。换种方式理解我们发现，点A即是以点B为圆心、以边c为半径的圆和以点C为圆心、以边b为半径的圆的交点。这里就把问题归结为一个点，再把已知的条件转换成两个部分，每一个部分都可以看成是点的轨迹，结论即在两条轨迹的交点处。

（2）笛卡尔模式

笛卡尔在数学的解析几何方面做出了重要贡献，在解决数学问题的过程中也形成了独特的数学思想。他认为，所有的数学问题都可以转换成代数问题进行解决，而所有的代数问题又可以转换成解方程的思想。波利亚利用了这一思想，但又加以具体化，具体运用通过具体的高中数学题目来加以阐释。

例.已知三次函数f（x）=ax^3+bx^2+cx在x处有极大值4，它的导函数的图像过点（2，0），（4，0），并且导函数的图像有最小值，求a、b、c的值。

该题目应先求出极大值x的值，通过导函数的性质我们很容易就能分析出f（x）的极大值x为1，接下来就可以运用笛卡尔解方程的思想来进行求解a、b、c。已知一：f（x）在（1，5）处取得极大值，可列出方程a+b+c=4；已知二：f（x）的导函数3ax^2+2bx+c经过点（2，0），（4，0），可列出两个方程12a+4b+c=0，48a+8b+c=0，联立三个方程，可分别求出a、b、c的值。

（3）递归模式

在解决数学问题中，递归模式概括的说就是运用有限的已知条件来获得更多的已知，该模式多用于解决高中数学中的数列问题，学生可以利用此模式迅速的找到解题方法。

例.已知S=1+4+9+16+25+36+……n^2，求s的值。

我们可以从已知得出这样一个等式（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1，可列出（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1，然后再将实际数值代入式子中，就可以得到2^3-1^3=3*1^2+3*1+1和3^3-2^3=3*2^2+3*2+1，4^3-3^3=3*2^2+3*3+1……这样我们就可以归纳出这样的规律：（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1，此时将两边相加就可得到（n+1）^3-1=3S2+3s1+n，求出S1的代数式，再带入最初列的等式，即可得出S的结果。

（4）叠加模式

在高中数学中，有许多题目的条件很多，这就会使学生错误的认为该题目难度较大，不好驾驭，但经过仔细分析发现，许多同学只是被绊倒在分析题干上，这个时候就需要我们耐心的对题目的多个已知进行叠加，找出它们的联系，直到最后找到解题思路。

例.求解方程组

x^2+xy+xz-x=1

y^2+xy+yz-y=2

Z^2+xz+yz-z=3

初看这个题目，已知条件太多，但运用到叠加方法就能迅速化难为易。具体的解题思路为：将三个方程的两边分别相加，可得到（x+y+z）^2-（x+y+z）-6=0，经过简化可得到一个等式x+y+z=-2，将这个等式分别代入以上三个方程组中，可分别得出x、y、z的值。

3.结语

新课改的推行使得教师在教学过程中必须要注重提高学生的综合素质，在解题过程中我们不再强调单纯的会挪用知识，更重要的是如何将所学知识具体运用到实际的问题中，提高学生的实践能力、创新能力、分析能力。这里就更加强化了解题思想的重要性。而波利亚模型作为重要的数学思想无疑要发挥其重要作用。通过上述分析，我们了解了波利亚模型的基本内涵、波利亚模型的四个具体模式，并结合具体的高中数学题目具體分析，可得出结论，运用波利亚模型来解决数学问题可以使问题简单化，迅速找到解题思路。对于学生来说，运用波利亚模型解决数学问题可以帮助其具体分析问题症结所在，提高其分析问题的能力，久而久之，解决问题就不再是问题，而只需要简单的转化即可；对教师来说，运用波利亚模型于教学中，可以提高学生的综合素质，深化新课改的改革理念。

【参考文献】

[1]黄秋妹.关于波利亚的数学启发思想[J].广西师范学院学报（自然科学版），2004（S1）

[2]杨丽霞.波利亚与“怎样解题”[J].中国校外教育，2014（05）endprint