透析三角函数与单位圆结合问题

李翠微

[摘 要]以单位圆为背景的三角函数问题是高考数学考查的重点内容，由于综合性较强，所以学生学习起来难度较大.为突破这一学习难点，首先研究了运用三角函数解决单位圆问题的方法；接着研究如何采用反向思维，以单位圆为工具解决含有三角函数的不等式证明问题.

[关键词]三角函数；单位圆；高考数学

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）32-0021-02

作为高考数学的热点内容，含有单位圆的解析几何问题综合性非常强，这类问题往往以单位圆为背景，再结合三角函数的定义对学生进行考查.然而，学生对三角函数的相关知识掌握得并不理想，所以这类问题往往会成为学生高考数学复习的“拦路虎”.为了帮助学生突破这一学习难点，本文着重研究三角函数与单位圆的结合问题.

一、引入题目——单位圆结合三角函数线

【题目1】（2017年广西博白县高考模拟题）如图1，在直角坐标系[xOy]中，单位圆上有一个动点P，过点P作x轴的垂线，该垂线与射线[y=3x][（x≥0）]相交于点Q，过点P的垂线与x轴交于M.记[∠MOP=α]，且[α∈-π2，π2].

（1）若[sinα=13]，求[cos∠POQ]；

（2）求[△OPQ]面积的最大值.

思路点拨：（1）因为OQ的射线方程是[y=3x]，所以[∠MOQ=π3]，那么[∠POQ=∠MOQ-∠MOP][=π3-α]，由于[sinα=13]，并且[α∈-π2，π2]，可得[cosα=1-sin2α][=223]，所以[cos∠POQ][=cosπ3-α][=cosπ3cosα+sinπ3sinα][ =22+36].

（2）由三角函数和单位圆的关系，可得到[P（cosα，sinα）]，由于OQ的射线方程是[y=3x]，所以[Q]点的坐标为[（cosα，3cosα）]，[S△OPQ=12OM×PQ][=12cosα3cosα-sinα][=123cos2α-sinαcosα][=1232+3cos2α2-12sin2α][=1232+sin（π3-2α）][≤1232+1][=34+12].因为[α∈-π2，π2]，所以当[α=-π12]时，上式中的等号成立，因此[△OPQ]面积的最大值为[34+12].

二、拓展延伸——变式训练以巩固提高

【题目2】（2018年广西博白县高考模拟题）如图2所示，在直角坐标系[xOy]中，[∠AOC=α]，且[α∈π6，π2].现将OA按逆时针方向旋转[π3]，交单位圆于点B.将A、B两点的坐标分别记为[A（x1，y1）]和[B（x2，y2）].

（1）若[x1=13]，求[x2]；

（2）过A点作AC垂直于x轴，过B点作BD垂直于x轴，若三角形AOC的面积是三角形BOD的面积的两倍，求出此时角[α]的值.

思路点拨：本题中利用点的坐标来量化三角形的边长，再结合三角函数的定义来解决问题.第（1）问中的[x2=cosα+π3]，将三角函数展开之后易得[x2=1-266].对于第（2）问，分别用含有[α]的三角函数表示出两个三角形的值，然后得到关于[α]的方程，即可求出[α]的值，解得[α=π4].

三、反思小结——承接上文，引出下文

以上两道高考模拟题都是以单位圆为背景，再结合三角函数的定义来解题，这种命题形式已经成为高考的热点.而在高考复习过程中，应当抓住问题的本质，注重思维的过程.在教材中，三角函数的定义是通过单位圆来引出的，三角函数与单位圆之间有着千丝万缕的联系.部分情况下，都是运用三角函数知识来解决单位圆问题，但是数学问题的多变性促使我们产生反向思考：是否能以单位圆为工具来解决三角函数问题？答案是肯定的.对于三角函数不等式证明问题，通过构造函数往往无法解决，而引入单位圆之后，复杂的问题也就可以迎刃而解.

四、发散思维——以单位圆为工具证明三角函数不等式问题

【题目3】（2018年广西博白县市高考一模试题）证明[tanx2tanx1>x2x1 ][0

思路点拨：根据题目已知条件，画出如图3所示的图形，设[∠AOE=x1]，[∠AOB=x2]，已知OE交单位圆于F，过F作GD垂直于OA，垂足为D，交OB于G.因为OA为单位圆的半径，所以[OA=1]，那么[tanx1=AE]，[tanx2=AB]，所以[tanx2tanx1=ABAE][=1+BEAE][=1+GFDF]，对于△[OGF]和△[OFD]，它们的高相等，所以底边的长度之比等于面积之比，所以[GFDF=S△OGFS△OFD]，根据图形，容易得出[S△OGFS△OFD>S扇形OCFS扇形OFA][=x2-x1x1]，所以[GFDF>x2x1-1]，则[1+GFDF>x2x1]，所以[tanx2tanx1>x2x1].

变式训练：证明[tanxx>xsinx][（0

结构提示：对于此题，如果按照常規思路，通过构造新的函数来判断函数的单调性，然后证明不等式会非常麻烦.如果能结合上题的解法，将所要证明的不等式转化到单位圆中，就可以化繁为简，快速解决问题.图4即为本题所画出的图形.

从以上几道典型例题可以看出，以单位圆为背景的三角函数问题综合性非常强，是高考数学中考查的重点内容.单位圆与三角函数联系的纽带就是三角函数的定义，通过将点的坐标量化为边长之后，再结合几何知识，可以产生解题的新思路.对于含有三角函数的不等式证明问题，应该联想到采用单位圆来进行证明，通过单位圆与三角函数的结合可大大提高解题效率.

（责任编辑 黄春香）