中考数学操作型问题例析

曹季锋

[摘 要]近年来，操作型问题已成为中考数学的常考题.操作型问题一般包括作图、分割组合、折叠和移动等几种.转化思想可以帮助我们有效解决此类问题.

[关键词]中考；操作型问题；转化思想

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）32-0015-02

一、作图类

[例1]如图1，两条公路OM和ON相交于O点，在两公路之间，有两个村庄A和B.现要在∠MON的内部修建一个自来水站P，使P到OM、ON的距离相等且PA=PB，用尺规作出自来水站P的位置（不写作法，保留作图痕迹）.

解：画图略.提示：作∠MON的平分线OC，再作AB的垂直平分线DE与OC相交于点P，P点就是自来水站的位置.

说明：这类题通过依据图形的变换（轴对称、平移、旋转等）及点轨迹的性质（如线段垂直平分线和角平分线的性质等）来作图.

二、分割组合类

1.等分分割类问题

[例2]张店某村的一块呈正六边形的田地（如图2），现平均等分给六户村民种花，要求在这块地上设计图案，把这块土地6等分，请给他们设计等分图形（不少于两种方案）.

分析：正六边形是特殊的几何图形，它既有对称轴又有对称中心，应考虑以正六边形的6条对称轴和正六边形的中心为转化方向来进行分割，这是解决问题的关键.

解：答案不唯一，可在图3中任选两种.

说明：与上例类似的还有将平行四边形、矩形等四等分等.从上例解答中可知，解决这种问题时，应考虑被分割图形的特殊性，从边、角、对角线、顶点等角度出发，通过想象，设计出合理图案.

2.不等分分割类问题

[例3]如图4，在等腰三角形中，BC为底边，顶角为36°，类比图4①，请你再想出另外两种分法，将原等腰三角形分割成3个小的等腰三角形.在备用图②、图③中进行分割，不要求写具体作法，也不必进行证明，分割后在图中写出所得的等腰三角形各内角的度数.

解：答案不唯一 ，可任选图5中的两个答案.

说明：此类分割应充分利用被分割三角形的特殊性（如等腰三角形、等边三角形等），抓住角、边这些特殊量通过转化作角平分线、平行线、中位线等来进行不等分分割.

3.图形组合类问题（裁剪类）

[例4]把一个正方形沿着一条对角线裁剪得到等腰直角△ABC，再沿斜边上的高CD裁剪，得到两个直角三角形，△ACD与△BCD能拼成一个平行四边形A′BCD（如图6①）.（以下探究过程中不必写画法和证明）

探究一：

（1）说一说.四边形A′BCD是平行四边形的理由_______________；

（2）画一画.用如上方法进行裁剪后，请在备用图②中再画一个与图①形状或位置不同的平行四边形.

探究二：请你再用其他裁剪方法分割等腰Rt△ACB，把分割后所得的两部分拼成不同类型的特殊四边形.

（1）想一想.得到不同的特殊四边形有 ，各自对应的裁剪线分别是 ；

（2）拼一拼.在图③中拼出一个你得到的特殊四边形.

解：可以从平行四边形的判定定理回答，画图可以让另一直角边或斜边重合，如图7.

说明：解决这类问题关键在于利用不同位置的特殊线段或所在射线、直线来获得特殊的四边形.

三、图形折叠类

[例5]把长方形ABCD沿着MN对折，如图8①，使B点落在对折线MN上，折痕为AE，B′恰好落在MN上，且点B和B′关于AE对称，所得△AB′E为直角三角形如图②；沿EB′所在直线对折，EF为折痕线如图③；折叠后的图形全部展开如图④，请你试探究：

（1）△AEF是________三角形，并说明理由；

（2）把任意一個长方形按照以上方法折叠，是否都能得到同样三角形，并证明.

四、图形移动类

[例6]如图9，点P在正方形ABCD边CD上运动（且不与C、D重合），连接BP，过P点作PE⊥BP，交AD或BC的延长线于点E.

试问：（1）哪一个三角形与△PBC相似？并证明你的结论；

（2）当点P运动到CD的中点时，你找到的三角形与△BPC的周长比是多少？

解：（1）如图10①和②，则△EPD∽△PBC、△EPC∽△PBC、△EBP∽△PBC.证明：在△PDE和△BCP中，∵∠1+∠3=∠2+∠3=90°，∴∠DPE=∠CBP，又∠PDE=∠BCP=90°，∴△EPD∽△PBC.同理可证△EPC∽△PBC和△EBP∽△PBC.

（2）相似三角形周长之比等于相似三角形对应边之比，所得三角形与△BCP的周长比是1∶2或[5]∶2.

（责任编辑 黄桂坚）