数学分析中的几种证明方法探析

黄民海

【摘要】命题证明是数学分析教学中的难点。文章对数学分析中的几种证明方法进行了深入分析，并通过例证加以说明。

【关键词】数学分析；验证性证明；引用性证明；构造性证明；反证法

一、引言

数学分析是大学数学类各专业非常重要的一门基础课，是进一步学习后续课程必备的基础. 数学分析内容博大精深，逻辑性与系统性很强，其中包含大量的命题证明. 命题证明是数学分析学习中很重要的内容，一直是数学分析教学中的难点. 多数学生对于命题证明的学习普遍感到艰难，作业中的命题证明错漏百出. 因此，如何教好“命题证明”是一个值得研究的课题. 数学命题的证明方法各式各样，许多学者对于命题证明方法进行了很有意义的探索. 本文仅就数学分析中常见的几种基本证明方法——验证性证明、引用性证明、构造性证明和反证法进行深入分析，并通过例证加以说明.

二、几种证明方法分析

（一）验证性证明

验证性证明方法可看是演绎性证明方法的一种形式. 这种证明方法主要是针对与“定义”或公式法则有关的命题，证明的关键在于“验证”. 有关数列极限、函数极限、函数一致连续、函数可导性、函数列一致收敛等等方面的许多命题，都可以归结为验证性证明.

例1：证明.

证明：任意正数，由可得. 因此，存在正整数，当时，有，根据“”定义，得证.

本题的证题方法在于“验证”数列以1为极限这一事实，即验证其满足数列极限的“”定义. 至于在证明过程中是利用分析演绎法还是利用综合演绎法，结果都是在说明其满足数列极限的“”定义，从而证明了数列以1为极限.

例2：证明在上一致连续.

证明：任意，有，对任意正数，存在使得对任意，只要，就有，根据函数一致连续的定义，在上一致连续.

本题的证题方法也在于“验证”函数在上满足一致连续的定义，证明的过程就在于“验证”.

例3：设，证明：.

本题的证题方法可以通过复合函数的求导公式和法则，计算几个偏导数来证明等式成立，本质也属于“验证”.

（二）引用性证明

引用性证明方法，顾名思义，是一种引用定理、性质或公式来证明命题的方法. 在数学分析中，这种证明方法可谓司空见惯，许多性质、定理、法则或公式的应用命题，都可以看作是引用性证明. 这类命题证明的关键在于说明命题符合引用的条件，从而得到相应的结论.

例4：证明方程至少有一个实根.

证明：显然，函数在闭区间上连续，又，根据根的存在定理，方程在上至少有一个根，即方程至少有一个实根.

本题的证题方法引用了连续函数的零点定理或称根的存在定理.

例5：若与在可积，则

证明：根据定积分的性质，对任意实数，函数在上可积，且有即. 注意到，定积分的值是一个确定的实数，因此，以上不等式左边是一个关于的二次函数，根据二次函数性质，有，因此

本题的不等式是著名的许瓦兹（Schwarz）积分不等式，证题方法引用了定积分的和差性质、乘积性质、积分不等式几个性质以及二次函数的性质，并注意到定积分是一个确定的实数这一要素.

例6：设，且有界，证明收敛.

证明：由已知条件，存在正数，使得，从而，又已知收敛，由比较原则知收敛.

本题的证题方法引用了正项级数敛散性判别的比较原则，证明的关键在于比较不等式的确定以及熟知的比较对象的收敛性.

例7：设，证明数列极限存在.

本题的证题方法（证明略）会引用到数列极限的单调有界定理，证明的过程在于说明所给的数列满足单调有界定理的条件，即单调性和有界性.

（三）构造性证明

构造性证明方法是一种间接性的证明方法，通过构造辅助函数，构造区间套，构造数列等方法来间接完成命题的证明. 这种证明方法往往与命题化归相联系，即将原命题化归为一类已经解决或比较容易解决的命题，化归是借助“构造”这一桥梁去实现的.

例8：证明拉格朗日（Lagrange）中值定理：若函数满足如下条件：（ⅰ）函数在闭区间上连续；（ⅱ）函数在开区间上可导. 则在上至少存在一点，使得.

证明：构造函数. 容易验证，函数在区间上满足罗尔（Rolle）定理的条件，从而在上至少存在一点，使得.

本命题的证法是通过构造辅助函数，将原命题化归为新命题“在上至少存在一点，使得”，这是罗尔定理的结论. 本命题构造的辅助函数也可以定义为. 构造两个不同的辅助函数，都能够实现命题的证明. 两个辅助函数在上都满足罗尔定理的条件，只是其中的条件“区间端点的函数值相等”的“函数值”不同，从几何直观上可以看出其中的差异，目的和结果完全一样.

例9：证明“不存在处处连续又处处不可导的函数”的论断是错误的.

证明：数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass）举出了一个著名的反例：，其中，且. 虽然在上处处连续，但却处处无导数.

在数学分析的发展历史上，数学家们一直猜测：连续函数在其定义区间中，至多除去可列个点外都是可导的. 但这一猜想是错误的，1872年魏尔斯特拉斯给出了以上的构造反例. 本题的证法也可称为反例构造法，通过构造反例达到命题的证明. 在有关否定命题的证明中，往往使用这种方法，它证明了“某命题不成立”为真，反例达到“四两拨千斤”的功效.

例10：证明聚点定理：实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点.

本题的证法（证明略）可以通过构造区间套，利用区间套定理来证明，也可以通过构造开覆盖，再利用有限覆盖定理证明.

（四）反证法

反证法又称背理法，是一种常见的论证方式. 反证法首先假设在原命题的题设下，结论不成立，然后推理出与已知条件或已知定理明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证. 反证法与归谬法相似，数学分析中并没有给予严格区分.

例11：证明：若函数在上连续，且，则.

证明：假定不成立，即存在某，使得，由连续函数的局部保号性，存在的某邻域，使在其上有. 由定积分的性质推知. 这与已知条件相矛盾，所以.

本题的证法是在假设结论不成立的前提下，推导出与已知条件“”相矛盾的结果.

例12：设，证明不存在优级数.

证明：假定在上存在优级数，取，则，根据比较原则，由收敛得知，这与已知的调和级数发散矛盾，因此不存在优级数.

本题的证法是在假设结论不成立的前提下，推导出与已知的结论“调和级数发散”相矛盾的结果.

三、结语

数学分析中的命题证明方法花样繁多，错综复杂，证明过程中也含有丰富的数学思想和方法技巧. 除了文中提及的证法，还有课程中较少使用的数学归纳法、解释性证法以及几种方法的结合，等等. 某一命題可能有多种证法，而一种证法也不一定教条化地归结为某类证法. 文中例8的证法也可以看作是引用性证法. 证法的分类只是一种模式化的简单概括，没有指定哪个命题一定要用哪种方法去证明的，只有真正掌握各种证明方法的本身，才能灵活地证明数学分析中的各种命题.

【参考文献】

[1]杜君花，王立，王洪艳. 关于几种数学证明方法的研究[J]. 高师理科学刊，2016，36（11）：59-62.

[2]张寅生. 证明方法与理论[M]. 北京：国防工业出版社，2015.endprint