基于教师数学现场说题教研活动的思考与认识*

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(南安市教师进修学校,福建 南安 362300)

1 国内外研究现状综述

1.1 国内研究现状综述

上世纪90年代，“说数学”就引起了国内教育界的高度关注.曹才翰先生和章建跃博士所著的《数学教育心理学》中提出：通过“说数学”的教学活动能有效实现“数学地交流”.2003年颁布的《普通高中数学课程标准》提出“提高数学表达和交流能力”的课程目标.直到21世纪，国内数学教育工作者把“说数学”研究扩大到实践层面，不断把“说数学”细化，从而出现了教师“说题”的教学活动.2011年出版的《义务教育数学课程标准》，提高了学生“说”的地位，更重视提升学生的数学应用能力，而开展学生说题教研活动是提升学生能力的实质性举措之一.国际上对中学数学说题的研究较早就开始了，但发展不成熟，大多是一线教师零散经验的积累和总结，未成体系.本文结合教研实践，主要谈谈教师如何进行数学现场说题.

1.2 国外研究现状综述

对于说题，最早可以追溯到古希腊著名的哲学家苏格拉底的“产婆术”教学法.他主要采用谈话式、讨论式、启发式的教育方法，通过向学生提问，不断揭露对方回答问题中的矛盾，引导学生总结出一般性的结论，它的本质是教师引导学生去“说”，在“说”的过程中提升认识(师生互动说).1989年的《加拿大数学课程标准》，第一次提出把“说数学”作为评课的标准;新加坡的《大纲》十分重视学生用语言表达数学的能力；俄罗斯的《大纲》则在描述培养学生习惯方面更加明确，要求学生无论是口头交流还是书面交流都要清晰流畅;美国数学教师协会(NCTM)在2000年制定的《学校数学的原理和标准》中的学习原理指出：“学生应该以理解的方式学习数学，在自身经验和原有知识的基础上建构对新知识的理解.”因此，教学中需要让学生说出自己的思维过程;法国的《数学教学大纲》提出要让学生能够“明确地表述”“使学生在书写和口头交流方面形成清楚的习惯”;日本的数学教学大纲中也要求学生能够“数学地表示、表达”；此外，荷兰、英国等国家的教学大纲或课程标准也都把学生能“说数学”作为一个重要目标.

2 相关概念及案例

在日常的教育教学中，我们经常会听到这样的交流：“某某同学讲的这道题，比老师讲得还明白”“某某同学某学科会讲题，他这科的成绩比其他学科就是高！”“你看，这组习题我在下面自己研究透了，给自己讲明白了，上课的时候得心应手”.作为教研员，下校听课调研时，经常看到有些教师上课满堂灌、学生被动听，花大量时间解题训练，不注重调动学生的学习积极性，不关注或少关注学生的数学思维活动.

鉴于此，笔者所在单位组织了多次教师说题比赛，取得了一定的成效.现结合福建省南安市开展的说题比赛及教研实践，对几个相关概念进行界定.

2.1 数学说题

数学说题是指说题者在精心解题的基础上，面对被说题者，在题目的知识内涵、能力要求、思想方法、拓展变式、反思总结等方面作出解说，以口头表达为主，以数学思想方法为依据，以问题本身涉及的知识内涵为基础的一种教学研究活动.简单地说，“说题”就是把审题、分析、解答和回顾等思维过程按一定顺序说出来的一种教研展示活动.

从说题主体来看，说题可分为教师说题、学生说题、教师和学生互动说题.

2.2 教师现场说题

教师通过“选题、做题、想题、改题、编题”等一系列活动，向同行、专家系统地概括自己对题目的理解、分析、解答和反思的思维过程，并按一定规律和顺序表达出来，是一种深层次的备课.

教师说题主要包括如下4个环节：1)说“背景来源”，即试题来源于教材、中(高)考试题、经典试题或数学竞赛试题改编等.2)说“试题立意”，即指明试题的考查目标、《考试说明》所对应的要求，具体考查哪些知识点、能力、思想.3)说试题解法:一方面说教师如何分析讲解，如讲题的基本方法，具体操作流程等；另一方面说如何指导学生作答，比如指导学生根据分值进行分点、分层作答，指导学生根据材料寻找采分点,指导学生养成相应的答题习惯.4)说“拓展引申”,即结合学情和考情说对试题的评价或改进、解题规律的推广、试题的拓展及变式分析以及对今后命题趋势的分析及方向预测.

1)求a,b；

2)证明：f(x)>1.

(2014年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第21题)

本题为“福建省南安市2017年中学数学现场说题比赛”中，南安一中廖老师选取的说题试题.该教师从题目背景、解法初探、进一步探究、解法总结、试题拓展、解题反思等方面进行说题.第1)小题容易得到a=1,b=2.下面着重对第2)小题进行研究，截取其中典型的部分展示如下：

显然此处的一阶导函数有点复杂，是否继续前行，得有一个判断，否则很可能费时费力，没有好的成效.我们认为，一阶导数应该有4个理想的模式：①恒大于0或者恒小于0;②可求出具体零点;③有单调性(可直接观察出或者二次导恒正或恒负)；④二阶导函数可求出零点.而此处一阶导数并没有看到上述理想的4种状态，显然二次导(除去恒正的项ex-1,x2)再求导也没利用价值(四阶导数才恒正)，因此考虑放弃此方法.有些情况没能看出有这4种理想状态，但是照样能解出题目，称其为理想状态，意思就是能理想最好，不理想也无妨，也能解题.

g(x)min>h(x)max.

g″(x)=ex(ex+e-2)+2ex>0,

故f(x)>1.

评注证法1是处理不等式恒成立问题常用的通法，也就是将不等式恒成立问题转化为差函数最值问题.这里采用“设而不求”的方法处理，此种方法共需求导3次，难度不可谓不大.

将ex≥x+1中的x用x-1替换，可得ex-1≥x，从而

因此只要证不等式

即证

因为两个不等式不能同时取到等号，所以

从压轴题的多种证法出发，主要说解题思维的全过程、最常见的解法碰壁后如何处理(化归)、学生解题经验的积累运用等方面，目的是培养学优生善于发现转化、归纳总结的能力，克服解决难题的心理畏惧感，深化学生思维，为成功拿下压轴题奠定良好的知识储备和心理基石.

3 说题的思考

3.1 说题的形式

3.1.1 一题一说

在教研活动中，不事先给说题者指定题目，由说题者根据自身需要，选择所说的试题.说题者可查阅相关资料，认真学习相关理论，深刻研究试题所涵盖数学知识的结构与分类，围绕试题来源、考查目标、解法分析、拓展价值分析等方面进行充分准备，然后在教研活动现场向评委(专家)示说.

图1

(2016年江苏省数学高考试题第13题)

评注说题者可从试题的来源、解法探究(3种解法)、试题的推广(简单改编)、命题思路探寻、试题的实质性改造、教学启示等方面进行说题[1].

3.1.2 一题多说

在教研活动中，组织者指定说题者针对同一习题(试题)，在同一次活动中展开示说.在活动中，教师可以展示自身教育理论功底、学科知识掌握程度、解题方法理解能力、对教学前瞻性理念的探求等，参与者能得到案例示范和理论滋养两个方面的收益，营造良好的教研氛围.学生在说题时，能展现其解答及思考过程，暴露对试题的思维过程.长期坚持说题，能提升其数学语言交流能力，培养学生敢于探索和创新的精神.

图2

1)求甲、乙两人奔跑t秒后，他们各自所处位置的坐标；

2)试问：甲、乙两人出发后多长时间相距最近，最近距离为多少米？

(2011年福建省三明市质检文科试题第21题)

评注对于本题，组织者可对说题者提出如下的说题要求:1)试题及解法展示；2)试题的评析(优、劣、存在的问题)；3)改编说明(主要阐述思路和理由)；4)改编题展示；5)改编题期望说明(主要考查目标，试题预设难度和区分度)；6)改编题的解法(以通性通法为主)；7)其他需要说明的问题.

比如对本题可以进行这样的试题评析：本题以学生熟悉的足球场为背景，背景公正、合理，考查三角问题的实际应用，考查学生综合分析问题和解决问题的能力;问题解决的过程中要求学生能利用图形结合实际问题，建立坐标系，实现点的坐标化，体现了数形结合思想;利用两点间距离公式，把最近距离问题化为二次函数的最小值问题，体现了化归与转化思想;存在的问题是试题中没有指出甲在足球场的具体位置，t的范围如何进行具体限制？

1)求甲、乙两船航行4小时后，他们各自所处位置的坐标；

2)试问在第1)小题的条件下，如何确定乙船航行的方向使两船此时距离最近，最近距离是多少？

改编说明把足球场改为海域，避免t的进一步限制，把行驶的时间设为定值，把乙行驶的方向角设置为变量，难度设置成“易”，使中等偏下的学生都能求解;第2)小题难度中等，使中等程度的学生能顺利求解.改编后的试题环环相扣、梯度分明，较好地体现了试题的区分度，能有效区分出知识掌握程度不同的学生，体现“不同的人在数学上得到不同的发展”的理念.

3.1.3 多题一说

图3

在教研活动中，说题者针对多道试题，就其共性方面(通解、数学思想方法等)展开示说.如围绕以下4道高考试题可就“数形结合”思想来进行多题一说.

( )

(2009年辽宁省数学高考理科试题第8题)

说题1利用对称性，由形到数.

( )

A.{3,4} B.{2,3,4}

C.{3,4,5} D.{2,3}

(2013年安徽省数学高考理科试题第8题)

图4 图5

说题2“由数思形”，建立对应关系.

例6若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2，且f(x1)=x1，则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是

( )

A.3 B.4 C.5 D.6

(2013年安徽省数学高考理科试题第10题)

说题3由数思形，以形助数.

由数思形：由极值点的意义可得x1,x2是方程3x2+2ax+b=0的两个实根，再由该方程的结构特征(二次项系数为正)可得函数f(x)的单调性(先增后减再增)，从而可利用单调性作出该函数的草图.因此要判断方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数，只需观察直线y=x1,y=x2与函数f(x)图像的交点个数情况(如图6).以形助数：作出直线y=x1,y=x2以及函数f(x)的草图即可得解.

图6 图7

例7设a∈R，若当x>0时，均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则a=______.

(2012年浙江省数学高考理科试题第17题)

说题4由数到形，数形结合.

按照常规思路，本题求解时通常可分为两种情况：

受传统经验的影响，很多人可能会认为本题是错题或解不出来.事实上，本题可先“由数到形”，即将所给含参不等式转化成两个函数值的符号相同问题，然后通过分别作图(如图7)，观察它们的共同特征，“数形结合”得出它们的另一个交点位置是确定的，从而有效地避免了传统解法的分类及繁杂的数学运算及推理，顺利求出参数a的值.

4 结论

通过近几年教师现场“说题”比赛的开展，笔者发现：教师在说题前进行的一系列准备工作，如查阅资料、理论学习、中(高)考试题研究等，有利于提高教师解题、命题水平，有利于提升教师的教研水平;在现场说题时，他们能充分展现自身数学教育的理论功底、数学知识的掌握程度、数学方法的理解能力及对数学本质的认识.通过多次教师现场说题比赛的开展，参赛教师能很快成为教改教研的骨干力量.

本课题研究开展一年以来，能充分调动各中学的积极性，课题组成员所在学校数学组教师开设片区级以上的展示课20多节，课题组成员所在学校教师和学生均取得了较好的成绩.

[1] 陈俊斌.一道高考数学试题引发的探究与思考[J].数学通讯，2017(1)：30-33.