论特征函数的性质及应用

申贝贝

【摘要】在数理统计和概率论当中，经常会遇到求独立随机变量和的分布，经过这么多年人们努力地研究和探索，终于研究出了另外一个重要的工具——特征函数.特征函数可以解决很多概率论当中的问题，可以很好地去寻求独立随机变量和的分布，同时还能够将卷积运算换算成乘法运算.本文着重介绍了特征函数的基本概念、主要的性质以及一些基本的应用，同时还根据实例去介绍特征函数在求随机变量独立和的分布以及研究极限定理方面的应用.

【关键词】特征函数；性质；应用

在一般的数学研究当中，经常会遇到随机变量这个重要的内容.随机变量的规律是根据随机变量的分布函数来统计的，在使用的过程中有时会出现分布密度或者是分布函数使用不便等问题，例如，在实际的操作过程中用卷积求分布密度和独立随机变量过于复杂和烦琐.本文主要对特征函数的定义以及性质进行分析，利用定义和性质来对特征函数使用方法进行更便捷的介绍.对特征函数的性质做进一步的分析，在基本定义和性质的引导下，对其应用进行探讨分析.

一、特征函数的定义

设X是一个随机变量，称

φ（t）=Ε（eitX），∞

为X的特征函数.

因为|eitX|=1，所以Ε（eitX）总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的.

当离散随机变量X的分布列为pk=P（X=xk），k=1，2，3，…，则X的特征函数为

φ（t）=∑+∞k=1eitxkpk，∞

当连续随机变量X的密度函数为p（x），则X的特征函数为

φ（t）=∫+∞∞eitxkp（x）dx，∞

其实在特征函数里，随机变量是一个很重要的方法，在分布函数和密度函数里，特征函数是很好的补充和加强，从某种程度上来说，特征函数的应用要更加广泛一些，让证明推理的过程简洁化，这样一个工具可以用来证明中心极限定理，而且非常有分量.结合上面的叙述我们可以得出这样的结论，就是在学习的时候，除了要把分布函数的知识掌握到位，还要了解特征函数，在解决问题过程中实现两者的互补，在互相促进当中将问题解决.

二、特征函数的主要性质

特征函数主要具有以下几个基本性质：如果两个随机的变量拥有统一的特征函数，那么它们就会具有相同的概率分布；相反，假设两个随机的变量拥有一样的概率分布，那么它们的特征函数很显然也相同.因此，我们可以得出独立随机变量和的特征函数其实就相当于每个随机变量特征函数的乘积.

主要性质：两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们的特征函数之积.

利用归纳法，不难把上述性质推广到n个独立随机变量的场合，若ξ1，ξ2，…，ξn是n个相互独立的随机变量，相应的特征函数为Φ1（t），Φ2（t），…，Φn（t），则ξ=∑ni=1ξi的特征函数为Φ（t）=∏ni=1Φi（t）.

由于这个性质，独立随机变量和的特征函数可以方便地用各个特征函数相乘来求得，对于独立和分布函数来说，必须要进行复杂的运算才能计算出来.相对来说，特征函数在进行问题处理的时候就？缘帽冉戏奖？.在概率论的古典问题中，占据重要位置的就是独立和问题，解决这些问题主要是依靠引进特征函数.

特征函数里最重要的知识点就是概率论，其不仅可以研究随机现象的统计规律性，还可以很客观地描述分布函数变量的统计规律.在探讨随机变量的时候引入分布函数，这就像在随机现象与数学分析之间搭建了一座桥梁，数学分析这个工具需要通过特征函数引进才能更好地进入到随机现象的研究领域，而特征函数在这种情况之下就会得到飞速的发展，以便于解决实际的各种现象问题.

对于特征函数来说，主要是建立在分布函数的基础上，通过分析分布函数来得出相应的随机变量问题，包括其性质以及数字特征等，但是针对那些个性化的问题来说，如果只是依靠分布函数与密度函数是远远不够的.而特征函数就可以去解决那些小众的问题、个性化的问题，毕竟分布函数跟特征函数都是唯一的存在，其过程也比较简单.在概率论中，研究随机变量的时候，特征函数是一种常见的工具，主要是由其特性决定的，每个随机变量都存在特征函数.

在概率发展过程中，独立随机变量的地位显得比较重要，要得出独立随机变量的和，就要把它的分布函数计算出来，独立随机变量的结果来自于各个随机变量分布律的卷积，在计算的时候并不简单.与此相比，独立随机变量，包括特征函数等，都是它的各被加项的特征函数的乘積，这样的计算难度不大.因此，当特征函数引进之后，古典极限问题就能得到有效的解决.

三、特征函数的主要应用

众所周知，对于特征函数来说，其实际背景比较广泛，在生产与科学实验中，通过特征函数可以描述很多的随机变量概率.例如，同一个生物体的各种指标、体重和身高等；某一个区域内一年的降水量是多少，与同期进行比较；假设生产条件不会发生变化，产品的一些长度、宽度等指标等.通常情况下，假如很多独立随机因素影响到一个量的情况下，就可以认定这个量具有特征函数.站在理论的角度来论述，特征函数的性质比较良好，运用特征函数可以近似一些概率的分布，像种子的质量，同一个物体的测量误差等.

1.分布律与特征函数之间存在一一对应关系.因此，当求出了随机变量的特征函数，便可知其分布律，由特征函数的某些性质，可以推出分布律的某些性质.不仅如此，在分布律的某种收敛意义下的极限分布与特征函数之间也存在着对应关系.因此，由特征函数的极限函数有时可以推知极限分布律，从而推知随机变量序列的极限分布.

2.特征函数是一种有界连续函数，比分布函数及分布律更易于应用分析的工具.

3.独立随机变量，特别是独立随机变量和以及有关的问题在概率的发展中具有重要的地位，要研究独立随机变量和，就要求出它的分布函数，而独立随机变量和的分布律是各随机变量分布律的卷积，计算起来很复杂，但独立随机变量和的特征函数等于它的各被加项的特征函数的乘积，计算和研究都很方便.这就是为什么古典极限问题能在引进特征函数之后很快得到解决的原因.

四、特征函数与分布函数的一一对应

我们在前文分析了特征函数的含义，对于随机变量来说，其特征函数主要是由分布函数来确定，与之相反，也能够证明由特征函数可唯一地确定它的分布函数，在这样的基础上，特征函数变成了一种数学工具，通过这个数学工具刻画随机变量统计规律，通过特征函数来得出分布函数，就是我们所说的“逆转公式”，也可以叫作勒维定理.

勒维定理（逆转公式）：设随机变量ξ的分布函数为F（x），特征函数为Φ（t），又x1与x2是F（x）的任意两个连续点（∞

F（x2）-F（x1）=limT→∞12π∫T-Te-itx1-e-itx2itΦ（t）dt.

其中，当t=0时，按连续性延拓定义：

e-itx1-e-itx2it=x2-x1.

唯一性定理：随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定.

五、结论

随机变量的分布函数完全描述了随机变量的统计规律性，在有些问题上，如果用分布函数来解决并不容易，因此我们把Fourier变换引入概率中，进而产生了特征函数，利用特征函数与分布函数一一对应的关系，可以简化许多随机变量的研究工作.特征函数既能完全确定分布函数，又在处理独立随机变量和的分布及计算数字特征等方面比分布函数更为方便，这使得有必要进一步讨论特征函数的相关性质及其应用.特征函数虽不如分布函数直观，却有着更好的分析性质，而且能够完全决定分布函数，与分布函数存在一一对应关系.在许多方面，用特征函数比用分布函数做随机变量的研究工具更方便.

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