空间直角坐标系学习指导

■高金花

空间直角坐标系学习指导

■高金花

空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广，它为我们研究数学问题提供了更广阔的途径。学习空间直角坐标系，同学们应掌握以下三类主要问题。

一、求空间点的坐标

例1 在棱长为l的正方体ABCDAlBlClDl中，E，F 分别是DlD，BD 的中点，点G在棱CD 上，且CG=CD，H 为ClG的中点，试建立适当的坐标系，写出点E，F，G，H 的坐标。

分析：求空间直角坐标系内点的坐标时，一般先找出所求点在xOy平面上射影的坐标，再找该点与射影间的距离以确定竖坐标。

解：建立如图l所示的空间直角坐标系Oxyz。

图l

点E在z轴上，E为DDl的中点，故点E的坐标为

过点F作FM⊥AD于点M，作FN⊥DC于点N。由平面几何知识可得，故点F的坐标为

过点H作HK⊥CD于K。由H是ClG的中点，可知K为CG的中点，可得DK故点H 的坐标为

评注：建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；充分利用几何图形的对称性。求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影（或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号）确定第三个坐标。

二、求对称点的坐标

例2 在空间直角坐标系Oxyz中，点P（—2，l，4）。

（l）求点P关于x轴的对称点的坐标。

（2）求点P关于xOy平面的对称点的坐标。

（3）求点P 关于点M（2，—l，—4）的对称点的坐标。

分析：求对称点的坐标，可以过该点向对称平面或对称轴作垂线并延长使得垂足为所作线段的中点，再根据有关性质即可写出对称点的坐标。

解：（l）由于点P关于x轴对称，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以点P关于x轴的对称点为Pl（—2，—l，—4）。

（2）由于点P 关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以点P关于xOy平面的对称点为P2（—2，l，—4）。

（3）设点P关于点M 的对称点为P3（x，y，z），则点M 为线段PP3的中点。

由中点坐标公式可得x=2×2—（—2）=6，y=2×（—l）—l=—3，z=2×（—4）—4=—l2，所以P3（6，—3，—l2）。

评注：求对称点的坐标遵循“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反”的规则。如关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy平面对称的点，横、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数。在空间直角坐标系中，若点A（xl，yl，zl），B（x2，y2，z2），则线段AB 的中点坐标为

三、空间两点间距离公式的应用

例 3 （l）已知点A（l，2，—l），点B（2，0，2）。①在x轴上求一点P，使|PA|=|PB|。②在xOz平面内的点M到点A与到点B等距离，求点M的轨迹。

（2）在xOy平面内的直线x+y=l上确定一点M，使它到点N（6，5，l）的距离最小。

分析：根据点P，M 的位置，设出它们的坐标，根据条件列出关系式，再化简求解。

②设点M（x，0，z），则由点M 到点A与到点B 等距离得，两边平方整理得2x+6z—2=0，即x+3z—l=0。

由上可知，点M的轨迹是xOz平面内的一条直线。

（2）由已知可设点 M 坐标为（x，l—x，0），所以|MN|=

评注：空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广。对于平面上的解题思想和方法，有时在空间几何里也可使用。

江苏太仓市高级中学

（责任编辑 郭正华）