例谈解含参不等式恒成立应注意的问题

2018-01-11 05:50江苏省南菁高级中学
数学大世界 2017年35期
关键词:不等号主元端点

江苏省南菁高级中学 花 敏

例谈解含参不等式恒成立应注意的问题

江苏省南菁高级中学 花 敏

含有参数的不等式的恒成立问题是不等式中的重要题型,也是各类考试的热点。该类问题通常可化为最值问题来解决,但由于这类问题既含参数又含变量,学生在处理时普遍感到难以驾驭,不是方法烦琐,就是思路不清。本文通过不等式恒成立中几个应注意问题的举例说明,帮助学生理清这类问题的解决思路,并避免一些易犯错误。

一、分清主元与参数

分析:由于常见的思维定式,易看成是关于x的二次不等式,从而思路不清。其实抓住题中“对任意的恒成立”,应将m看成主元,而x是参数。

点评:这类既含参数又含变量的问题关键首先要分清谁是主元,谁是参数。一般题中对什么恒成立,什么就可以看成主元,另一个则看成参数,进而揭示函数关系,使问题明朗化。另外,对任意的恒成立但若真的去求则需对x-2分大于0、等于0、小于0三种情况讨论,此时抓住f(m)的图象为一条线段,其最小值只可能在端点处取到,故只需考虑两个端点值大于0即可。在求函数最值时,恰当利用数形结合思想,往往可使问题得到简化。

二、何时需分离参数

分离参数就是把含参数的式子分离出来放在不等号的一侧,而含主元的式子放在不等号的另一侧。在解决含参的不等式恒成立问题时,常需要用到分离参数法,但学生对何时需要分离参数往往不能准确识别。

点评:不等式恒成立问题转化为最值问题时,若所求函数最值需要分类讨论,则可考虑用分离参数法。分离参数后,需求最值的函数便不含参数,求最值较为方便。 但若分离参数也要讨论,则视具体情况选择分与不分。

三、最值取到与否对参数范围的影响

点评:当转化为最值问题时,若最值取不到,则应注意端点处,应停顿思考是否有等号,确保考虑全面,不失分。

例3 已知两个函数f(x)=x2+2x-m,g(x)=x3+3x2=3x,其中m为实数。

(1)对任意的x∈[-2,2],都有f(x)≤g(x)成立,求m的取值范围;

分析:要注意分清一个变量还是两个变量。

分析:注意等价转化时逻辑连接词“且”与“或”的区别。

(3)若在x∈D上f(x)与g(x)的大小不定,则先解不等式f(x)<g(x),得,使f(x)<a<g(x)成立其中

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